¿Qué es la equivalencia beta?

En el script que estoy leyendo actualmente sobre el cálculo lambda, la equivalencia beta se define así:

La equivalencia ≡ β es la equivalencia más pequeña que contiene → β .$\beta$$\equiv_\beta$$\rightarrow_\beta$

No tengo idea de lo que eso significa. ¿Alguien puede explicarlo en términos más simples? Tal vez con un ejemplo?

Lo necesito para un lema que sigue el teorema de Church-Russer, que dice

$\equiv_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$$\twoheadrightarrow_\beta$

es la relación de un paso entre los términos en elcálculo λ . Esta relación no es reflexiva, simétrica ni transitiva. La relación de equivalencia ≡ β es el cierre reflexivo, simétrico y transitivo de → β . Esto significa$\to_\beta$$\lambda$$\equiv_\beta$$\to_\beta$

1. Si entonces M ≡ β M ′ .$M\to_\beta M'$$M\equiv_\beta M'$
2. Para todos los términos , M ≡ β M se cumple.$M$$M\equiv_\beta M$
3. Si $M\equiv_\beta M'$ , entonces $M'\equiv_\beta M$ .
4. $M\equiv_\beta M'$ , entonces.$M'\equiv_\beta M''$$M\equiv_\beta M''$
5. $\equiv_\beta$ es la relación más pequeña que satisface las condiciones 1-4.

De manera más constructiva, primero aplique las reglas 1 y 2, luego repita las reglas y una y otra vez hasta que no agreguen elementos nuevos a la relación.$3$$4$

Es la teoría de conjuntos elemental realmente. Sabes qué es una relación reflexiva, qué es una relación simétrica y qué es una relación transitiva, ¿verdad? Una relación de equivalencia es aquella que satisface las tres propiedades.

Probablemente has oído hablar del "cierre transitivo" de una relación ? Bueno, no es más que la relación transitiva menos que incluye R . Eso es lo que significa el término "cierre". Del mismo modo, puede hablar sobre el "cierre simétrico" de una relación R , el "cierre reflexivo" de una relación R y el "cierre de equivalencia" de una relación R exactamente de la misma manera.$R$$R$$R$$R$$R$

Con un poco de pensamiento, puedes convencerte de que el cierre transitivo de es R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ … . El cierre simétrico es R ∪ R - 1 . El cierre reflexivo es R ∪ I (donde I es la relación de identidad). $R$$R \cup R^2 \cup R^3 \cup \ldots$$R \cup R^{-1}$$R \cup I$$I$

Usamos la notación para I ∪ R ∪ R 2 ∪ … . Este es el cierre transitivo reflexivo de R . Ahora observe que si R es simétrico, cada una de las relaciones I , R , R 2 , R 3 , ... es simétrica. Por lo tanto, R ∗ también será simétrico.$R^*$$I \cup R \cup R^2 \cup \ldots$$R$$R$$I$$R$$R^2$$R^3$$R^*$

Entonces, el cierre de equivalencia de es el cierre transitivo de su cierre simétrico, es decir, ( R ∪ R - 1 ) ∗ . Esto representa una secuencia de pasos, algunos de los cuales son pasos hacia adelante ( R ) y algunos pasos hacia atrás ( R - 1 ).$R$$(R \cup R^{-1})^*$$R$$R^{-1}$

Se dice que la relación tiene la propiedad Church-Rosser si el cierre de equivalencia es el mismo que la relación compuesta R ∗ ( R - 1 ) ∗ . Esto representa una secuencia de pasos en la que todos los pasos hacia adelante son lo primero, seguidos por todos los pasos hacia atrás. Por lo tanto, la propiedad Church-Rosser dice que cualquier intercalación de pasos hacia adelante y hacia atrás se puede llevar a cabo de manera equivalente haciendo pasos hacia adelante primero y hacia atrás más tarde.$R$$R^* (R^{-1})^*$