Es la teoría de conjuntos elemental realmente. Sabes qué es una relación reflexiva, qué es una relación simétrica y qué es una relación transitiva, ¿verdad? Una relación de equivalencia es aquella que satisface las tres propiedades.
Probablemente has oído hablar del "cierre transitivo" de una relación ? Bueno, no es más que la relación transitiva menos que incluye R . Eso es lo que significa el término "cierre". Del mismo modo, puede hablar sobre el "cierre simétrico" de una relación R , el "cierre reflexivo" de una relación R y el "cierre de equivalencia" de una relación R exactamente de la misma manera.RRRRR
Con un poco de pensamiento, puedes convencerte de que el cierre transitivo de es R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ … . El cierre simétrico es R ∪ R - 1 . El cierre reflexivo es R ∪ I (donde I es la relación de identidad). RR∪R2∪R3∪…R∪R−1R∪II
Usamos la notación para I ∪ R ∪ R 2 ∪ … . Este es el cierre transitivo reflexivo de R . Ahora observe que si R es simétrico, cada una de las relaciones I , R , R 2 , R 3 , ... es simétrica. Por lo tanto, R ∗ también será simétrico.R∗I∪R∪R2∪…RRIRR2R3R∗
Entonces, el cierre de equivalencia de es el cierre transitivo de su cierre simétrico, es decir, ( R ∪ R - 1 ) ∗ . Esto representa una secuencia de pasos, algunos de los cuales son pasos hacia adelante ( R ) y algunos pasos hacia atrás ( R - 1 ).R(R∪R−1)∗RR−1
Se dice que la relación tiene la propiedad Church-Rosser si el cierre de equivalencia es el mismo que la relación compuesta R ∗ ( R - 1 ) ∗ . Esto representa una secuencia de pasos en la que todos los pasos hacia adelante son lo primero, seguidos por todos los pasos hacia atrás. Por lo tanto, la propiedad Church-Rosser dice que cualquier intercalación de pasos hacia adelante y hacia atrás se puede llevar a cabo de manera equivalente haciendo pasos hacia adelante primero y hacia atrás más tarde.RR∗(R−1)∗