Referencias sobre comparación entre computadoras cuánticas y máquinas de Turing

Me dijeron que las computadoras cuánticas no son computacionalmente más poderosas que las máquinas de Turing. ¿Podría alguien ayudarme amablemente a dar algunas referencias de literatura que expliquen este hecho?

— Mok-Kong Shen
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— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

Respuestas:

Lo que es realmente el caso es que cualquier cosa que una computadora cuántica pueda calcular, una máquina de Turing también puede calcular. (Esto es sin comentar en absoluto cuánto tiempo le lleva a la máquina Turing calcular la función en comparación con una computadora cuántica).

En realidad, esto no es difícil de ver, siempre que comprenda la computación cuántica. Para un circuito cuántico sobre un conjunto de compuerta típico, por ejemplo, el resultado se rige por una distribución de probabilidad, que está determinada por los coeficientes de una matriz unitaria. Esa matriz unitaria es solo un producto matricial de los de las puertas, y puede ser calculada, si es lo suficientemente paciente, por una computadora clásica. Entonces, para la computabilidad pura (en oposición a la eficiencia), no hay ventaja en usar computadoras cuánticas.

Todo el desafío que surge de la mecánica cuántica es determinar si dichos coeficientes se pueden calcular de manera eficiente , lo cual es un problema más exigente que si se pueden calcular en absoluto .

— Niel de Beaudrap
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Si bien mi conocimiento de principiante me dice que un circuito cuántico representa una transformación de matriz de Hadamard, todavía no puedo ver cómo una posibilidad de programación para hacer cálculos de matriz arbitrarios en una computadora clásica podría ser un sustituto de tener físicamente un circuito cuántico. Por ejemplo, mi libro dice sobre la generación de números aleatorios de la siguiente manera: 1. | x> <- | 0> 2. | x> <- H | x> 3. Medida | x> ¿Qué correspondería en particular al paso 3? programación en una computadora clásica?

— Mok-Kong Shen

Una matriz de Hadamard (correctamente normalizada) es solo una posible transformación unitaria. Para su cálculo, podemos reconocer que una máquina de Turing determinista puede calcular la distribución de probabilidad (0.5, 0.5) que consiste en las normas al cuadrado de la primera columna de la matriz de Hadamard

, y que para una máquina de Turing aleatorizada (que puede realizar lanzamientos de monedas), podemos ir un paso más allá y producir una muestra a partir de esa distribución de probabilidad. En cualquier caso, cualquier función calculada por el circuito cuántico con error <1/2, también puede hacerlo una máquina clásica.

| ⟨ b | H | 0 ⟩ |^{2}

$\bigl|\langle b |H|0\rangle\bigr|^2$

— Niel de Beaudrap

@ Mok-Kong Shen: en caso de que no quede claro a partir de mis comentarios sobre la ineficiencia o la lentitud, se supone comúnmente que las computadoras cuánticas son más potentes desde el punto de vista informático en el sentido de poder calcular más rápidamente . Me he referido al hecho de que no son capaces de calcular cosas que una computadora clásica no podría calcular también (donde descarto la noción de "lanzar una moneda" como cálculo).

— Niel de Beaudrap

$G$ $\vert \phi \rangle$ $v$ $Gv$

$\{G_1, G_2, ... \}$ $C=G_n \cdots G_2 G_1$ $v$

$\vert \phi \rangle$ $Cv$ $G_n \cdots G_2 G_1 v$

Por otro lado, QTM es trivialmente tan fuerte como TM y, por lo tanto, ambos modelos son equivalentes.

EDITAR debido a los comentarios
Para preguntar qué "computadora" es más poderosa, primero debemos aclarar qué significa ser más "computacionalmente poderosa". Y esta discusión semi-filosófica comienza con la pregunta

¿Qué es la computación ?

¿"Reproducir archivos MP3" es un cálculo? ¿Producir números aleatorios es un cálculo?

$x$ $y=f(x)$ $y$ $y$ $x$ $f$

$f$ $B$

$A$ $B$ $f$ $A$ $f$ $B$ $f$

$y$ $y_1$ $p_1$ $y_2$ $p_2$ $^0$

$f(x)$ $y_i$ $p_i>0.75$ $^1$ $f$ $f(x)$ $^2$ $f$ $f(x)$ $(y_1,p_1), (y_2,p_2),...$

Con lo anterior, debe quedar claro que tener probabilidades no cambia la potencia del modelo, y una TM clásica solo puede generar la lista de posibles resultados junto con la probabilidad de cada salida. Esto es exactamente lo que sucede cuando una TM multiplica matrices y genera un vector: el vector representa la probabilidad de todas y cada una de las posibles salidas de medición.

^{$^0$

$^1$ $p=0.75$ $1/2$

$^2$ $f$}

— Sonó.
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Podría programar cálculos matriciales en una computadora clásica, pero no sé cómo escribir un código para simular un cálculo cuántico. Necesitaré de todos modos bits cuánticos. Un bit cuántico tiene 2 valores comúnmente denotados por alfa y beta. ¿Qué valores debo usar? Vea también mi comentario a la respuesta de Niel de Beaudrap para el caso de la generación de números aleatorios.

— Mok-Kong Shen

@ Mok-Kong Shen: esos valores suenan como si fueran coeficientes en una superposición . Pero recuerde que la notación de Dirac es simplemente una notación vectorial: esto es exactamente lo mismo que escribir usando la convención habitual. Esos coeficientes son solo coeficientes vector / matriz, que es lo que evalúa la computadora clásica para simular (lentamente) la computadora cuántica.

| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩

$\def\ket#1{|#1\rangle}\ket\psi = \alpha\ket0 + \beta\ket1$

ψ ψ = [α β]^{⊤}

$\pmb\psi = [\alpha\quad\beta]^\top$

— Niel de Beaudrap

@Niel de Beaudrap: Pero cuando escribo un código para simular un cierto cálculo cuántico, por ejemplo, la generación de números aleatorios que mencioné, necesito implementar bits cuánticos simulados en una computadora clásica. No sé cómo escribir código para hacerlo sin conocer los valores de estos coeficientes.

— Mok-Kong Shen

@ Mok-Kong Shen: el punto es que en tiempo de ejecución, lo sabes; y el problema es exactamente el mismo que el muestreo de una distribución de probabilidad clásica que se especifica en la entrada, es decir , se reduce a problemas bien estudiados en el muestreo aleatorio. Los métodos de Monte Carlo se aplican aquí, por ejemplo.

— Niel de Beaudrap

@ Mok-KongShen Por favor, no use comentarios (especialmente en la publicación de otra persona) para discusiones extensas. Vaya al chat , ya sea en la sala general de este sitio o en una sala de chat creada a tal efecto.

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

otras respuestas son válidas, solo quiero agregar una que enfatice que esta es realmente una pregunta muy profunda (en gran parte aún abierta / sin resolver) en el corazón de mucha investigación moderna sobre separaciones de clases de complejidad y computación cuántica vs clásica. son funcionalmente equivalentes en la medida en que las computadoras TM y QM están probadas como Turing completas ; Hay varias formas de probar esto.

pero la equivalencia en la teoría de la complejidad depende en gran medida de las sutilezas / eficiencias en el tiempo y el espacio, es decir, los recursos para calcular algoritmos particulares. y también hay una gran cantidad de investigación que analiza el "ruido" en la computación QM que considera que los modelos teóricos sin ruido pueden no ser "reales" o alcanzables en la práctica y que los modelos reales pueden / tendrán un ruido significativo. existen esquemas complejos para mitigar este ruido, etc .; Hay algunos comentarios excelentes sobre esto en varias publicaciones en el blog de RJ Lipton, por ejemplo, máquinas voladoras del siglo XXI.

Por ejemplo, Shor ha demostrado que el factoring está en BQP, la clase de algoritmos cuánticos que se ejecutan en tiempo P, en una prueba famosa de que en ese momento también lanzó una gran cantidad de estudios / investigaciones serias sobre computación QM debido a la dramática resultado.

sin embargo, incluso con los modelos QM "silenciosos" es una pregunta abierta si P BQP donde el primero denota una clase de complejidad clásica de algoritmos eficientes Poly-time y BQP es la clase de algoritmos eficientes / Poly-time QM . y hay varias preguntas abiertas similares. $\stackrel{?}{=}$

Scott Aaronson es un excelente escritor / investigador en el subj y ha escrito algunos documentos accesibles para el profano. ver, por ejemplo, Los límites de las computadoras QM, SciAm o QM computing promete nuevas ideas, NYT .

— vzn
fuente

tenga en cuenta que aram harrow es un escéptico líder de los problemas de ruido de la informática de QM. Otro buen lugar para comenzar, el blog de RJ Lipton, ¿movimiento perpetuo del siglo XXI?

— vzn