Clasificación de algoritmos aleatorizados

De Wikipedia sobre algoritmos aleatorios

Hay que distinguir entre algoritmos que usan la entrada aleatoria para reducir el tiempo de ejecución esperado o el uso de memoria, pero siempre terminan con un resultado correcto en una cantidad limitada de tiempo, y algoritmos probabilísticos , que, dependiendo de la entrada aleatoria, tienen una posibilidad de producir un resultado incorrecto (algoritmos de Monte Carlo) o no producir un resultado (algoritmos de Las Vegas), ya sea señalando una falla o no terminando.

1. Me preguntaba cómo el primer tipo de " algoritmos utiliza la entrada aleatoria para reducir el tiempo de ejecución esperado o el uso de memoria, pero siempre termina con un resultado correcto en una cantidad de tiempo limitada".
2. ¿Qué diferencias hay entre este y los algoritmos de Las Vegas que pueden no producir un resultado?
3. Si entiendo correctamente, los algoritmos probabilísticos y los algoritmos aleatorios no son el mismo concepto. Los algoritmos probabilísticos son solo un tipo de algoritmos aleatorios, y el otro tipo son los que usan la entrada aleatoria para reducir el tiempo de ejecución esperado o el uso de memoria, pero siempre terminan con un resultado correcto en un período de tiempo limitado.

1. Un ejemplo de dicho algoritmo es la ordenación rápida aleatoria, donde permutas aleatoriamente la lista o seleccionas aleatoriamente el valor de pivote, luego usas la ordenación rápida de forma normal. La clasificación rápida tiene el peor tiempo de ejecución de , pero en una lista aleatoria tiene un tiempo de ejecución esperado de , por lo que siempre termina después de pasos, pero podemos esperar que la instancia aleatorizada termine después de pasos, siempre con una respuesta correcta.$O(n^{2})$$O(n\log n)$$O(n^{2})$$O(n\log n)$

2. Esto proporciona un subconjunto de algoritmos de Las Vegas. Los algoritmos de Las Vegas también permiten la posibilidad de que (con baja probabilidad) no termine en absoluto, no solo termine con un poco más de tiempo.

3. Estos a su vez son realmente solo un tipo de algoritmo de Monte Carlo, donde la respuesta puede ser incorrecta (con baja probabilidad), que es al menos conceptualmente diferente a tal vez no responder.

Hay un montón de detalles que he dejado fuera, por supuesto, es posible que desee buscar las clases de complejidad ZPP, RP y BPP, que formalizan estas ideas.

Los dos términos algoritmos aleatorios y algoritmos probabilísticos se utilizan en dos contextos diferentes. Los algoritmos aleatorios son algoritmos que utilizan la aleatoriedad, en contraste con los algoritmos deterministas que no lo hacen. Los algoritmos probabilísticos , por ejemplo, los algoritmos probabilísticos para la prueba de primalidad, son algoritmos que usan aleatoriedad y podrían cometer un error con alguna (con suerte) pequeña probabilidad.

Debe hacerse una distinción importante entre los algoritmos de Monte Carlo y los algoritmos de Las Vegas . Los algoritmos de Las Vegas son algoritmos aleatorios que siempre devuelven la respuesta correcta, pero su tiempo de ejecución depende del lanzamiento de la moneda. Un ejemplo son los algoritmos de factorización de enteros: siempre devuelven los factores correctos, pero su tiempo de ejecución depende de la aleatoriedad. Al establecer el tiempo de ejecución de un algoritmo de Las Vegas (digamos un algoritmo de factorización), en realidad establecemos el tiempo de ejecución esperado ; Si no tenemos suerte, el algoritmo podría funcionar por más tiempo.

Los algoritmos de Monte Carlo, por otro lado, son algoritmos aleatorios cuyo tiempo de ejecución se establece con anticipación. Tales algoritmos pueden cometer un error, pero generalmente la probabilidad de error es muy baja. Un buen ejemplo es la prueba de primalidad probabilística. Estos algoritmos son muy rápidos pero podrían cometer un error. Sin embargo, la probabilidad de error es lenta y baja que en la práctica, nunca cometen un error.

Todos los algoritmos de Las Vegas se pueden convertir a un algoritmo de Monte Carlo al detener la ejecución después de un tiempo suficientemente largo, por lo que los algoritmos de Las Vegas son, en cierto sentido, "mejores" que los algoritmos de Monte Carlo.