¿Cómo puedo reducir Subset Sum a Partition?

Tal vez esto sea bastante simple, pero tengo algunos problemas para obtener esta reducción. ¡Quiero reducir Subset Sum a Partition pero en este momento no veo la relación!

¿Es posible reducir este problema usando una reducción de Levin?

¡Si no entiendes, escribe para aclarar!

Sea una instancia de suma de subconjuntos, donde L es una lista (conjunto múltiple) de números y B es la suma objetivo. Deje que S = Σ L . Let L ' ser la lista formada por la adición de S + B , 2 S - B a L .$(L,B)$$L$$B$$S = \sum L$$L'$$S+B,2S-B$$L$

(1) Si hay una sublista suma a B , entonces L ' se puede dividir en dos partes iguales: M ∪ { 2 S - B } y L ∖ M ∪ { S + B } . De hecho, la primera parte suma a B + ( 2 S - B ) = 2 S , y la segunda a ( S - B ) + ( S + $M \subseteq L$$B$$L'$$M \cup \{ 2S-B \}$$L\setminus M \cup \{ S+B \}$$B+(2S-B) = 2S$ .$(S-B)+(S+B) = 2S$

(2) Si se puede dividir en dos partes iguales P 1 , P 2 , entonces hay una lista secundaria de L sumando a B . De hecho, como ( S + B ) + ( 2 S - B ) = 3 S y cada parte suma a 2 S , los dos elementos pertenecen a partes diferentes. Sin pérdida de generalidad, 2 S - B ∈ P 1 . El resto de los elementos en P 1 pertenecen a$L'$$P_1,P_2$$L$$B$$(S+B)+(2S-B) = 3S$$2S$$2S-B \in P_1$$P_1$ y la suma de B .$L$$B$

La respuesta mencionada por @Yuval Filmus es incorrecta (es correcta SOLAMENTE si no hay enteros negativos). Considere el siguiente conjunto múltiple:

y la suma objetivo es . Sabemos que no hay subconjunto. Ahora, construimos la instancia para el problema de partición. Los dos nuevos elementos agregados son 2 σ - t = 12 y σ + t = 3 . El conjunto múltiple ahora es: { - 5 , 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 12 } y la suma total es 20 .$-2$$2\sigma-t = 12$$\sigma+t = 3$

El problema de partición resuelve la respuesta dando el subconjunto

Agregue un elemento cuyo valor sea . La suma total del multiset ahora es $2t-\sigma$ . Resuelva el problema de partición que dará 2 subconjuntos de suma t . Solo una de las particiones contendrá el nuevo elemento. Elegimos la otra partición cuya suma es t y hemos resuelto el problema del subconjunto reduciéndolo a un problema de partición. Esto es lo queexplicaelenlace.$2t$$t$$t$

Aquí hay una prueba directa:

Es fácil ver que SET-PARTITION puede verificarse en tiempo polinómico; dada una partición $P_1,P_2$ solo suma los dos y verifica que sus sumas sean iguales entre sí, lo que obviamente es una verificación de tiempo polinomial (porque la suma es una operación polinómica y solo estamos realizando a lo sumo $|X|$ muchas sumas).

El núcleo de la prueba está en reducir SUBSETSUM a PARTITION; para ese fin dado el conjunto $X$ y un valor $t$ (la consulta de suma de subconjuntos) formamos un nuevo conjunto $X'=X \cup \{s-2t\}$ donde $s=\sum_{x \in X}x$ . Para ver que esto es una reducción:

• ($\implies$$S \subset X$$t=\sum_{x \in S}x$

  $$\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$$ $S\cup \{ s-2t \}$$X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ form a partition of $X'$

• ($\impliedby$) Suppose that there is a partition $P_1',P_2'$ of $X'$ such that $\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$. Notice that this induces a natural partition $P_1$ and $P_2$ of $X$ such that WLOG we have that

  $$\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$$

Hence from a solution $t=\sum_{x \in S}x$ we can form a parition $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$, $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ and conversely from a partition $P_1',P_2'$ we can form a soltuion $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ and therefore the mapping $f:(X,t)\rightarrow X'$ is a reduction (because $(X,t)$ is in the language/set SUBSETSUM $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$ is in the language/set PARTITION) and it is clear to see that the transformation was done in polynomial time.

Subset Sum:

Input: {a1,a2,...,am} s.t M={1..m} and ai are non negative integer and S⊆{1..k} and Σai(i∈S) = t

Partition:

Input: {a1,a2,...,am} and S⊆ {1,· · ·,m} s.t Σai(i∈S) = Σaj(j∉S)

Partition Np Proof: if prover provides a partitions(P1,P2) for verifier, verifier can easily calculate the sum of P1 and P2 and check if the result is 0 in linear time.

NP_Hard: SubsetSum ≤p PARTITION

Let x be input of SubsetSum and x=〈a1,a2,...,am,t〉 and Σai(i from 1 to m) = a

Case1: 2t >= a:

Let f(x)=〈a1,a2,...,am,am+1〉 where am+1= 2t−a

We want to show that x∈SubsetSum ⇔ f(x)∈PARTITION

so there exist S⊆ {1,...,m} s.t T = {1..m} - S and Σai(i∈T) = a-t

and Let T' = {1...m,m+1} - S so Σaj(j∈T') = a-t+2t-a = t

which is exactly Σai(i∈S)= t and it shows f(x)∈PARTITION

now We also will show that f(x)∈PARTITION ⇔ x∈SubsetSum

so there exist S⊆ {1,...,m,m+1} s.t T = {1,...,m,m+1} - S and Σai (i∈T)= [a+(2t-a)-t]=t

and it shows Σai(i∈T) = Σaj(j∈S) so m+1∈T and S⊆ {1,· · ·,m} and Σai(i∈S)= t

so x∈SubsetSum

Case 2: 2t =< a :

we can check same but just this time am+1 is a−2t

Este enlace tiene una buena descripción de ambas reducciones, partición a subconjunto-suma y subconjunto-suma a partición. Creo que es más obvio que la respuesta de YUVAL . enlace útil