Un problema de almacenamiento dinámico de CLRS

Me confundí al resolver el siguiente problema (preguntas 1–3).

Pregunta

Un montón d -ary es como un montón binario, pero (con una posible excepción) los nodos no hoja tienen d hijos en lugar de 2 hijos.

1. ¿Cómo se representan una d montón ary en una matriz?

2. ¿Cuál es la altura de un montón d -ary de n elementos en términos de n y d ?

3. Dar una implementación eficiente de extracto-MAX en un d ary max-heap. Analice su tiempo de ejecución en términos de d y n .

4. _{Proporcione una implementación eficiente de INSERT en un d -ary max-heap. Analice su tiempo de ejecución en términos de d y n .}

5. _{Dar una implementación eficiente de AUMENTO-KEY ( A , i , k ), que banderas un error si k <A [i] = k y luego actualiza el d ary matriz montón estructura apropiada. Analice su tiempo de ejecución en términos de d y n .}

Mi solución

1. Dar una matriz $A[a_1 .. a_n]$

   $\qquad \begin{align} \text{root} &: a_1\\ \text{level 1} &: a_{2} \dots a_{2+d-1}\\ \text{level 2} &: a_{2+d} \dots a_{2+d+d^2-1}\\ &\vdots\\ \text{level k} &: a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k-1}d^i} \dots a_{2+\sum\limits_{i=1}^{k}d^i-1} \end{align}$

   → Mi notación parece un poco sofisticada. ¿Hay alguna otra más simple?

2. Sea h denota la altura del montón d -ary.

   Supongamos que el montón es un árbol completo d -ary

   $$1+d+d^2+..+d^h=n\\ \dfrac{d^{h+1}-1}{d-1}=n\\ h=log_d[n{d-1}+1] - 1$$

3. Esta es mi implementación:

   EXTRACT-MAX(A)
   1  if A.heapsize < 1
   2      error "heap underflow"
   3  max = A[1]
   4  A[1] = A[A.heapsize]
   5  A.heap-size = A.heap-size - 1
   6  MAX-HEAPIFY(A, 1)
   7  return max
   
   MAX-HEAPIFY(A, i)
   1  assign depthk-children to AUX[1..d]
   2  for k=1 to d
   3      compare A[i] with AUX[k]
   4      if A[i] <= AUX[k]
   5          exchange A[i] with AUX[k]
   6          k = largest
   7  assign AUX[1..d] back to A[depthk-children]
   8  if largest != i
   9      MAX-HEAPIFY(A, (2+(1+d+d^2+..+d^{k-1})+(largest-1) )
   

   • El tiempo de ejecución de MAX-HEAPIFY:

     $$T_M = d(c_8*d + (c_9+..+c_13)*d +c_14*d)$$ $c_i$

   • $$T_E = (c_1+..+c_7) + T_M \leq C*d*h\\ = C*d*(log_d[n(d-1)+1] - 1)\\ = O(dlog_d[n(d-1)])$$

   → ¿Es esta una solución eficiente? ¿O hay algo mal en mi solución?

1. Su solución es válida y sigue definición de d montón ary. Pero como usted señaló, su notación es un poco sofisticada.

   Puede utilizar las dos funciones siguientes para recuperar el elemento primario del elemento i y el elemento secundario j del elemento i .

   $\text{d-ary-parent}({\it i}) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ \lfloor (i-2)/d + 1 \rfloor$

   $\text{d-ary-child}(i, j) \\ \ \ \ \ {\bf return}\ d(i-1)+j+1$

   $1 \le j \le d$$\text{d-ary-parent}(\text{d-ary-child}(i,j)) = i$

   $d$$d=2$$d$$2$

2. $h = log_d(n\,d-1+1) - 1$$\log_d(n\,d) - 1 = \log_d(n) + \log_d(d) - 1 = \log_d(n) + 1 - 1 = \log_d(n)$$\Theta(\log_d(n))$

   $c$$\Theta$

3. $AUX$$\text{d-ary-parent}$$\text{d-ary-child}$

   $\text{EXTRACT-MAX}$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O(d\ \log_d(n(d-1)))$

   $O(d\ \log_d(n(d-1))) = O(d(\log_d(n) + \log(d-1))) = O(d\ log_d(n) + d\ \log_d(d-1))$

   $d \ll n$$d \log_d(d-1)$$O(d\log_d(n))$$\text{MAX-HEAPIFY}$$O$$\Theta$

4. El libro CLRS ya proporciona el procedimiento INSERT. Que se ve así:

   $\text{INSERT}(A, key)\\ \ \ \ \ A.heap\_size = A.heap\_size + 1 \\ \ \ \ \ A[A.heap\_size] = -\infty\\ \ \ \ \ \text{INCREASE-KEY}(A, A.heap\_size, key)$

   $O(\log_d(n))$

5. Al igual que INSERT, INCREASE-KEY también se define en el libro de texto como:

   $\text{INCREASE-KEY}(A, i, key)\\ \ \ \ \ {\bf if}\ key < A[i]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf error} \text{"new key is smaller then current"}\\ \ \ \ \ A[i] = key\\ \ \ \ \ {\bf while}\ i > 1\ and\ A[i] > A[\text{d-ary-parent}(i)]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ A[i] \leftrightarrow A[\text{d-ary-parent(i)}]\\ \ \ \ \ \ \ \ \ i = \text{d-ary-parent(i)}$

   $O(\log_d(n))$

La respuesta a la segunda pregunta es h = log _d (n (d-1) + 1) - 1 Entonces, h = log _d (nd - n + 1) - 1