¿Cuál es la relación entre la lógica de primer orden y la teoría de primer orden?

Pensé que cualquier FOT es un subconjunto de FOL, pero ese no parece ser el caso, porque FOL está completo (cada fórmula es válida o inválida), mientras que algunos FOT (como la aritmética de enteros lineales) no están completos.

Entonces, ¿es FOL más expresivo que cualquiera de FOT? O incomparable?

Además, la afirmación "hay afirmaciones que son válidas en LIA pero que no pueden probarse utilizando axiomas de LIA" es extraña. ¿Cómo puede ser válida la declaración si no podemos probar su validez? Siempre pensé que si no puede probar la validez de la declaración, no puede afirmar que es válida.

Lógica de primer orden es un tema matemático que define muchos conceptos diferentes, tales como la fórmula de primer orden , la estructura de primer orden , teoría de primer orden , y muchos más. Uno de estos conceptos es la teoría de primer orden : es un conjunto de fórmulas de primer orden. A menudo consideramos la teoría de primer orden generada por un número finito de axiomas y esquemas de axiomas. Dicha teoría está cerrada con respecto a las derivaciones lógicas , y generalmente solo consideramos teorías que satisfacen esta condición.

Una teoría de primer orden está completa si para cada enunciado$\sigma$, contiene cualquiera $\sigma$o su negación. No todas las teorías están completas. De hecho, el teorema de incompletitud de Gödel destaca el hecho de que muchas teorías interesantes de primer orden son necesariamente incompletas.

Un modelo de una teoría de primer orden es una interpretación válida de la teoría (dejamos la definición exacta para los libros de texto). Por ejemplo, la teoría de los grupos de primer orden consiste en todas las declaraciones que se derivan de los axiomas grupales. Cada grupo es un modelo de la teoría de los grupos de primer orden.

Para cada modelo dado, una oración muy dada es verdadera o falsa. El teorema de integridad de Gödel establece que si una oración de primer orden es verdadera en todos los modelos de una teoría de primer orden, entonces es demostrable a partir de un número finito de oraciones en la teoría. Por ejemplo, cada declaración de primer orden en el lenguaje de grupos que se cumple para todos los grupos es demostrable a partir de los axiomas de grupo.

LIA es (presumiblemente) una teoría de primer orden que es lo suficientemente interesante como para estar incompleta debido al teorema de incompletitud de Gödel. Sin embargo, en el modelo estándar, los enteros "verdaderos", cada oración es verdadera o falsa. En particular, si$\sigma$ es una declaración tal que ninguno $\sigma$ ni $\lnot \sigma$ pertenecer a LIA, entonces $\sigma$ o $\lnot \sigma$ vale para los verdaderos enteros, pero este hecho no es demostrable en LIA.

La frase "lógica de primer orden" tiene dos significados:

1. Es un capítulo de lógica matemática en el que estudiamos ciertos tipos de sistemas formales y todo lo relacionado con ellos.

2. Es un tipo especial de teoría de primer orden, es decir, la generada por una firma vacía y un conjunto vacío de axiomas.

Su pregunta se refiere al segundo significado, pero para entender esto, necesitamos construir cosas:

1. Existe cierto lenguaje formal llamado lenguaje de lógica de primer orden . Hablando informalmente, es lo que puedes construir a partir de variables, igualdad,$\land$, $\lor$, $\lnot$, $\Rightarrow$, $\forall$ y $\exists$. Estas cosas se conocen como fórmulas de primer orden .

2. Hay un cierto sistema formal llamado lógica de primer orden que nos dice qué significa que demostremos una fórmula de primer orden. El sistema se proporciona como un conjunto de reglas de inferencia.

3. Una teoría de primer orden$\mathcal{T}$ es dado por:

   • una firma$\Sigma_{\mathcal{T}}$que consiste en un conjunto de constantes, símbolos de función y símbolos de relación. Piense en esto como extensiones del lenguaje básico de la lógica de primer orden. Lo llamamos el lenguaje de$\mathcal{T}$.
   • Un conjunto deductivamente cerrado de fórmulas de primer orden escritas en el lenguaje extendido por la firma.

Un conjunto $S$de fórmulas se dice que está deductivamente cerrado si alguna aplicación de reglas de inferencia de lógica de primer orden a fórmulas en$S$ da fórmulas que están nuevamente en $S$. En otras palabras,$S$contiene todas sus consecuencias lógicas. Una forma común de crear tal conjunto$S$ es: comenzar con algún conjunto de fórmulas elegido $A$, y agréguele todas sus consecuencias lógicas, y las consecuencias de esas consecuencias, y así sucesivamente. Esto se llama cierre deductivo de$A$. A menudo llamamos a las fórmulas en$A$ axiomas .

Una teoría puede o no ser completa. No es importante saber qué significa "completo" aquí, pero es importante saber que puede suceder lo siguiente: podemos tener dos conjuntos de fórmulas$A$ y $B$tal que $A \subseteq B$, el cierre deductivo de $A$ es una teoría completa, y el cierre deductivo de $B$No es una teoría completa.

Ahora estamos listos para responder su pregunta. Dejar$T$ser la teoría cuya firma está vacía y cuyo conjunto de fórmulas es el cierre deductivo del conjunto vacío. Dejar$P$ ser la teoría cuya firma es la de la aritmética de Peano (constante $0$operación unaria $S$, operaciones binarias $+$ y $\times$) y las fórmulas son el cierre deductivo de los axiomas de Peano. Es un hecho que

1. $T$ está contenido en $P$ (de hecho $T$ está contenido en cada teoría),
2. $T$ Esta completo,
3. $P$ no está completo.

La teoría $T$se llama popularmente "lógica de primer orden", pero esto realmente es un nombre inapropiado. Algunas personas son un poco más precisas y lo llaman "la teoría pura de la lógica de primer orden".

En resumen, su pregunta reveló lo siguiente:

1. No sabía que la "lógica de primer orden" puede referirse a la teoría con firma vacía generada por los axiomas vacíos.
2. Una teoría completa puede quedar incompleta cuando la extendemos.
3. Usaste la definición incorrecta de integridad. La definición correcta es: una teoría está completa si, cada oración o su negación es un teorema de la teoría.

NB: una oración es una fórmula cerrada (una que no contiene ninguna variable libre).

Por último, permítame abordar su pregunta sobre la validez:

• una fórmula es demostrable si hay una prueba de ello
• una fórmula es válida si es cierta en todos los modelos

Un metateorema básico sobre la lógica de primer orden es que toda fórmula demostrable es válida. Lo contrario también es válido y se conoce como el teorema de integridad de Gödel .

Sin embargo, a menudo sucede que en alguna situación particular, uno deliberadamente hace una falta de coincidencia entre validez y demostrabilidad por una buena razón. Por ejemplo, si limitamos la atención solo a los modelos finitos , puede suceder fácilmente que haya declaraciones válidas que no tengan pruebas. ¿Por qué uno haría eso? En ciencias de la computación podría ser por razones algorítmicas, o porque uno está interesado solo en una clase particular de modelos.

Dices "la única forma de saber que una oración es válida es probarla". Este puede ser el caso en algún nivel informal (creo que Dios no estaría de acuerdo con usted), pero tenga en cuenta que cualquier prueba de validez se produce fuera de la teoría, en el nivel meta. De hecho, dado que establecer la validez requiere que uno hable sobre todos los modelos, esto ciertamente no es algo que esperaríamos realizar dentro de la teoría.

Una aclaración menor:

Puede estar pensando que la teoría con firma vacía es una teoría vacía, es decir, no contiene fórmulas cerradas. Eso es incorrecto. La lógica de primer orden permite probar, sin apelar a los axiomas , ciertas fórmulas cerradas conocidas como tautologías. Estos son "verdaderos" debido únicamente a su forma; no tienen contenido significativo como tal. El Teorema de la integridad de Godel dice que la colección de tautologías está completa, es decir, todas las fórmulas cerradas que son válidas (es decir, "verdaderas en todos los modelos") son realmente derivables en la lógica de primer orden. [La prueba es interesante y decididamente no trivial.]