Encontrar ejemplos de lenguajes que son "antipalindrómicos"

Deje $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ . Un lenguaje $L \subseteq \Sigma^*$ se dice que tiene la propiedad "anti-palíndromo" si para cada cadena $w$ que es un palíndromo, $w\notin L$ . Además, para cada cadena que no es un palíndromo, o , pero no ambos (!) (Exclusivo o). $u$ $u\in L$ $\mathrm{Reverse}(u) \in L$

Entiendo la propiedad anti-palíndromo, pero no pude encontrar ningún idioma que tenga esta propiedad. El más cercano que pude encontrar es , pero no tiene la exclusiva o parte ... que es, por ejemplo, ambos y están en . $\Sigma^* \setminus L$ $01$ $10$ $L$

¿Alguien podría darme un ejemplo de un idioma que tenga esta propiedad? O posiblemente incluso más que un solo ejemplo, porque no veo qué tipo de limitaciones pone esto en un idioma. (¿Debe ser no regular? ¿Sin contexto? ¿O ni siquiera en ? Y etc.) $R$

formal-languages

— Marik S.
fuente

"No pude encontrar ningún idioma que tenga esta propiedad". - acaba de definir uno dando la propiedad, asumiendo que hay algún lenguaje que cumpla con la condición.

— Raphael

No estoy de acuerdo, lo que definió fue una clase de idiomas. Eso no constituye una definición bien definida para un idioma.

— Shreesh

Respuestas:

Un ejemplo será . $L = \{ x\ \ |\ \ binary(x) < binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

Y otro ejemplo más . $L' = \{ x\ \ |\ \ binary(x) > binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$

La idea es que si haces una regla para elegir solo uno de ellos. Debe elegir la regla para que los palíndromos se rechacen ( , para los palíndromos debe tener ). También puede cambiar el alfabeto, tomé alfabeto binario solo para obtener una respuesta rápida. $x \neq x^R$ $f(x) < f(x^R)$ $f(x)= f(x^R)$

y anteriores no son regulares. Y cadalenguajeantipalindrómicoserá no regular y puede ser tan malo como un lenguaje que no sea RE. Ejemplo de un lenguaje indecidible:tal que si tanto como Detener o ambas y Detener, de lo contrario si $L$ $L'$ $L=\{x\ \ |\ \$ $binary(x)<binary(x^R)$ $x$ $x^R$ $\not\in$ $x$ $x^R$ $\in$ Alto $x \in$ $\}$

Klaus Draeger explicó en el comentario a continuación que el lenguaje antipalindrómico dado al comienzo de la respuesta no tiene contexto: $L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

— Shreesh
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Ya veo, así que es cierto que cada lenguaje anti-palíndromo no es regular. ¿Pero se puede decir que debe estar en

? porque incluso expandiendo esta idea cada orden / función que usaremos se puede calcular con una TM en

.. ¿verdad?

R

$R$

R

$R$

— Marik S.

@Marik Hay funciones bien definidas pero inconfundibles . Por ejemplo, mapeo de números que representan M, w en Problema de detención a [0,1].

— Shreesh

Sí, pero ¿podrán tales funciones definir un orden total en

Σ^{*}

$\Sigma^*$

— Marik S.

Si. Por ejemplo

si tanto

como

Detener, de lo contrario

lo que esté en Detener

. Detener es todo

tal que

L = {x | x \neq x^{R}, b i n a r y (x) < b i n a r y (x^{R})

$L = \{x | x \neq x^R, binary(x) < binary(x^R)$

x

$x$

x^{R} \notin

$x^R \not\in$

\in

$\in$

x

$x$

x^{R}

$x^R$

}

$\}$

(M, w)

$(M,w )$

M

$M$ se detiene en

w

$w$

— Shreesh

Y si toma el lenguaje de diagonalización, entonces se convierte en no RE.

— Shreesh

Acerca de generar algunos ejemplos:

Sobre la base de la respuesta de @shreesh, podemos demostrar que cada lenguaje antipandrome debe ser de la forma paraalgunospedidos totales estrictos .

L = {x | x < x^{R}} (*)

$L = \{ x \ |\ x < x^R \}\qquad (*)$

<

$<$

Indeed, given any anti-palindrome $L$ , we can define an associated $<$ as follows. We start by taking any enumeration $x_0,x_1,\ldots$ of $\{0,1\}^*$ , where each word occurs exactly once. Then, we alter the enumeration: for each pair of non-palindromes $x,x^R$ , we swap their position so to make the one that belongs to $L$ to appear before the other. The new enumeration induces a total ordering $<$ satisfying $(*)$ .

Que cada definida como sea no palíndromo es trivial, por lo que es una caracterización completa de lenguajes no palíndromos. $L$ $(*)$ $(*)$

Al abordar la pregunta original, ahora sabemos que podemos obtener varios ejemplos de lenguajes anti-palíndromo elaborando pedidos . También sabemos que al hacerlo no nos estamos restringiendo a una subclase de idiomas, perdiendo generalidad. $L$ $<$

Sobre la pregunta "¿pueden estos idiomas ser regulares?":

Para probar que cualquier antipalíndromo no es regular, suponga por contradicción que es regular. $L$

Since regularity is preserved by reversal, $L^R$ is also regular.
Since regularity is preserved by union, $L \cup L^R$ , which is the set of all the non-palindromes, is also regular.
Since regularity is preserved by complement, the set of all palindromes is regular.

From the last statement, we can derive a contradiction by pumping. (See e.g. here for a solution)

— chi
fuente

Or more simply, you can observe that in order for a DFA to accept the language of palindromes, it needs to consider the first half of the string while parsing the second half -- but a DFA has a finite number of states and cannot store an arbitrarily long string. It's the same reasoning that shows the language of balanced parentheses is non-regular (paren-depth can be arbitrarily large).

— Kevin

I see, but if any

L

$L$ that has this property if from the form

L = {x | x < x^{R}}

$L=\{ x | x<x^R \}$ does it indicate that every language is also Context Free? Or if not CFL, then must it be in

R

$R$ ? since every order

<

$<$ can be calculated in

R

$R$ with a TM.

— Marik S.

@MarikS. The grammar of rici below proves that

L

$L$ can be context-free. I'm pretty sure that some

L

$L$ is non-recursive, since there are uncountably many such languages -- in my proof above we can make countably infinite choices about which to put first between

x

$x$ and

x^{R}

$x^R$ , and each combination gives a distinct

L

$L$ . So the cardinality of such languages is the same of

{0, 1}^{N}

$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ , which is uncountable.

— chi

For what it's worth, here is a simple context-free grammar for one anti-palindromic language:

\begin{aligned} S & \to 0 S 0 ∣ 1 S 1 ∣ 0 X 1 \\ X & \to ϵ ∣ X 0 ∣ X 1 \end{aligned}

$\begin{align} S &\to 0 S 0 \mid 1 S 1 \mid 0 X 1 \\ X &\to \epsilon \mid X 0 \mid X 1 \end{align}$

(In fact, this is the anti-palindromic language proposed by @shreesh, using lexicographic comparison for the less-than operator.)

— rici
fuente

Which leads to an even more explicit description:

L = {x 0 y 1 x^{R} | x, y \in {0, 1}^{*}}

$L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$ .

— Klaus Draeger