Conexión entre compuertas NAND y la integridad de Turing

Sé que las compuertas NAND se pueden usar para crear circuitos que implementen todas las tablas de verdad, y las computadoras modernas se componen de compuertas NAND. ¿Cuál es el vínculo teórico entre las puertas NAND y la integridad de Turing? Me parece que los circuitos de compuerta NAND están más cerca de autómatas finitos que las máquinas Turing. Mi intuición es que puedo construir chanclas, y por lo tanto registros y memoria, fuera de las puertas NAND, y la memoria sin límites es una propiedad crucial de los sistemas completos de Turing. Estoy buscando una explicación más teórica o matemática, o indicadores sobre qué leer.

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— bsm
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"Las computadoras modernas están compuestas de puertas NAND" Estoy bastante seguro de que eso es falso. Las bibliotecas de celdas típicas para diseños digitales contienen decenas cuando no cientos de compuertas y varían en función (buscar compuertas AOI), así como en entrada y salida en abanico.

— Programador

Tiene razón, quise decir, en un sentido teórico, que toda la lógica digital se puede construir a partir de NANDS, que se consideran funcionalmente completos

— Bsm

Respuestas:

De hecho, hay poca conexión. Para una comprensión profunda, permítanme explicar la conexión entre programas y circuitos .

Un programa (o algoritmo , o máquina ) es un mecanismo para calcular una función. Para mayor claridad, supongamos que la entrada es una cadena binaria , y la salida es una salida booleana . El tamaño de la entrada es potencialmente ilimitado. Un ejemplo es un programa que determina si la entrada es la codificación binaria de un número primo. $x$ $b$

Un circuito (booleano) es una colección de instrucciones para calcular alguna función finita . Podemos imaginar el circuito como un circuito eléctrico, o pensarlo como una secuencia de instrucciones (esta vista se llama confusamente un programa en línea recta ). Concretamente, podemos suponer que la entrada es una cadena binaria de longitud , y la salida es booleana. Un ejemplo es un circuito que determina si la entrada codifica un número primo (como antes, solo que ahora la entrada debe ser de longitud ). $x$ $n$ $n$

Podemos convertir un programa en un circuito que simula en entradas de longitud . La secuencia correspondiente de circuitos no es arbitraria: todos pueden ser construidos por un programa que da salidas . Llamamos a tal secuencia de circuitos un $P$ $P_n$ $P$ $n$ $P_0,P_1,P_2,\ldots$ $n$ $P_n$ uniforme (confusamente, a menudo pensamos en la secuencia como un circuito "único" para un indefinido ). $P_n$ $n$

No todas las secuencias de circuitos son uniformes. De hecho, ¡una secuencia de circuitos puede calcular todas las funciones, desde cadenas hasta booleanas, computables o no computables! Sin embargo, en la teoría de la complejidad nos interesan esos modelos no uniformes en los que los circuitos están restringidos. Por ejemplo, la pregunta P = NP establece que los problemas de NP completo no pueden resolverse mediante algoritmos de tiempo polinomiales. Esto implica que los problemas de NP completo no pueden resolverse mediante circuitos uniformes de tamaño polinómico. Además, se conjetura que los problemas de NP completo no pueden resolverse mediante circuitos de tamaño polinómico sin el requisito de uniformidad .

Los modelos de computación completos de Turing son modelos que realizan todas las funciones computables (y no más). En contraste, los sistemas completos de compuertas (como AND, OR, NOT o NAND) permiten calcular funciones arbitrarias finitas utilizando circuitos hechos de estas compuertas. Tales sistemas completos pueden calcular funciones completamente arbitrarias utilizando secuencias (sin restricciones) de circuitos.

— Yuval Filmus
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¿Puede explicar "una secuencia de circuitos puede calcular todas las funciones, desde cadenas hasta booleanas, computables o no computables"? ¿Su capacidad para calcular funciones no computables (desde la perspectiva de la integridad de Turing) proviene de la restricción en el tamaño de entrada?

— bsm

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¿Puedes exponer eso, @YuvalFilmus? Parece extraño que una función indiscutible como la complejidad de Kolmogorov se vuelva "computable" de repente usando circuitos.

— Cort Ammon - Restablece a Mónica el

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De hecho, tienes razón. Un circuito lógico combinacional es equivalente a un autómata finito. Las puertas NAND no los hacen más poderosos; se usan porque es simplemente más barato construir un circuito lógico digital con un solo tipo de puerta que construirlo con todas las puertas diferentes. De hecho, una puerta NAND se puede construir a partir de una puerta AND y una puerta NOT. Las chanclas completan el circuito de Turing. Aquí hay una clave útil:

Circuitos combinacionales ~ Autómatas finitos ~ Lenguajes regulares ~ Expresiones regulares ~ Cálculo proposicional ~ Programas de línea recta

$\mu$ predicciones -funciones recursivas

Si desea obtener más información, hay un muy buen libro que puede descargar en formato PDF de forma gratuita que explica todo esto:

https://cs.brown.edu/people/jes/book/pdfs/ModelsOfComputation.pdf

— usuario628544
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