Convierte a booleano, para programación lineal entera

Quiero expresar la siguiente restricción, en un programa lineal entero:

y = {\begin{cases} 0 & if x = 0 \\ 1 & if x \neq 0. \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

Ya tengo las variables enteras y me prometieron que . ¿Cómo puedo expresar la restricción anterior, en una forma adecuada para usar con un solucionador de programación lineal entero? $x,y$ $-100 \le x \le 100$

Presumiblemente, esto requerirá la introducción de algunas variables adicionales. ¿Qué nuevas variables y restricciones necesito agregar? ¿Se puede hacer limpiamente con una nueva variable? ¿Dos?

De manera equivalente, esto es preguntar cómo hacer cumplir la restricción

y \neq 0 if and only if x \neq 0.

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

en el contexto donde ya tengo restricciones que implican y . $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

(Mi objetivo es corregir un error en /cs//a/12118/755 ).

linear-programming integer-programming

— DW
fuente

Que has intentado ¿Has intentado trabajar con algunos ejemplos para ver si ves un patrón? En caso afirmativo, ¿ha intentado adivinar y luego intentó probarlo?

— Brika

Je! Ya veo lo que hiciste allí , @Brika. Si tiene curiosidad por ver lo que intenté, vea aquí , así como esta explicación de por qué eso estaba realmente mal . Si quieres ver mi próximo intento, mira mi respuesta . Gracias por leer mis viejas preguntas, y si pueden mejorarse para el futuro, ¡me encantaría escuchar cualquier sugerencia que pueda tener!

— DW

Eso es muy bueno. ;)

— Brika

Respuestas:

Creo que puedo hacerlo con una variable binaria adicional : $\delta \in \{0,1\}$

- 100 y \leq x \leq 100 y

$-100y \le x \le 100 y$

0.001 y - 100.001 δ \leq x \leq - 0.001 y + 100.001 (1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

Actualizar

Esto supone que es una variable continua . Si restringimos para que tenga un valor entero , entonces la segunda restricción se puede simplificar a: $x$ $x$

y - 101 δ \leq x \leq - y + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— Erwin Kalvelagen
fuente

Verifiqué esto correctamente probándolo exhaustivamente con un pequeño programa. ¡Gracias por la solución!

— DW

@ErwinKalvelagen, ¿podría explicar su lógica con la variable binaria delta, para un caso más general, por ejemplo, si y = {a: x> 0, b: x <0}.

— Nick

@Nick La variable binaria se usa para modelar una construcción 'OR'. Consulte aquí para obtener una respuesta a su pregunta.

— Erwin Kalvelagen

@ErwinKalvelagen, la gran respuesta, traté de aplicar su enfoque a mi pregunta aquí cs.stackexchange.com/questions/64794/… .

— Nick

@GonzaloSolera En realidad estaba equivocado: asumí que era una variable continua. De hecho, cuando tiene un valor entero, podemos mover 0.001 hasta 1 como usted sugirió.

x

$x$

x

$x$

— Erwin Kalvelagen

Lo siguiente no es bonito de ninguna manera, pero funciona. Sea , en el caso específico de la pregunta. Entonces tenemos las siguientes restricciones. $0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

La intuición es la siguiente. . Esto está codificado en las restricciones 2 y 3. De manera similar, las restricciones 4 y 5 codifican . Las últimas tres restricciones expresan . $z_1 = 1 \iff x \leq 0$ $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— Pramod
fuente

Esto parece tener un error. Supongo que tiene la intención de . Sin embargo, todavía está mal para : queremos forzar ( ) en este caso, pero no hay opción para que satisfaga todas las ecuaciones, como la ecuación requiere (es decir, ). Por lo tanto, este ILP da el resultado incorrecto cuando : queremos , pero tenemos . También el intervalo deseado para como aparece en la pregunta es , no .

z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$

x = 99

$x=99$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

— DW

Aquí hay una solución que usa dos variables temporales. Supongamos que sea una variable entera de cero o uno, con el significado deseado de que si , si , y . Estos pueden hacerse cumplir con las siguientes restricciones: $t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq t, u, y \leq 1 \\ 1 + x & \leq 101 t \leq 101 + x \\ 1 - x & \leq 101 u \leq 101 - x \\ t + u - 1 & \leq 1 - y \\ 1 - y & \leq t \\ 1 - y & \leq u \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
fuente

Esta respuesta es incorrecta, desafortunadamente. Restringirá por la primera parte de la primera restricción no trivial cuando la pregunta se haga con . ¿No son divertidos los errores de poste de la cerca? (Lo mismo para .)

x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

— TLW

@TLW, ¡gracias por atrapar eso! He editado mi respuesta para corregir el error. Lo probé exhaustivamente con un pequeño programa y creo que debería ser correcto ahora.

— DW