¿Prueba Big-O para una relación de recurrencia?

Esta pregunta es bastante específica en la forma de los pasos tomados para resolver el problema.

Dado prueba que . $T(n)=2T(2n/3)+O(n)$ $T(n)=O(n^2)$

Entonces los pasos fueron los siguientes. Queremos demostrar que . $T(n) \le cn^2$

\begin{aligned} T (n) & = 2 T (2 n / 3) + O (n) \\ \leq 2 c (2 n / 3)^{2} + a n \\ \leq (8 / 9) (c n^{2}) + a n \end{aligned}

$\begin{align*} T(n)&=2T(2n/3)+O(n) \\ &\leq 2c(2n/3)^2+an\\ &\leq (8/9)(cn^2)+an \end{align*}$ y luego mi profesor continuó:

T (n) \leq c n^{2} + (a n - (1 / 9) c n^{2}),

$T(n) \leq cn^2+(an-(1/9)cn^2)\,,$ que sale a:

T (n) \leq c n^{2} for any c >= 9 a .

$T(n)\leq cn^2 \text{ for any }c >= 9a\,.$

Mi pregunta es, ¿cómo pudieron cambiar de 8/9 a 1/9 al introducir un nuevo término? ¿Esto está permitido? Ella nunca explicó, esto solo estaba en sus soluciones.

asymptotics recurrence-relation

— D. Johnson
fuente

No veo un nuevo término introducido? Tenemos que

c n^{2} + a n - (1 / 9) c n^{2}

$cn^2 +an - (1/9)cn^2$ simplifica a

(8 / 9) c n^{2} + a n

$(8/9)cn^2 + an$ como en la línea anterior. Entonces las dos líneas son en realidad iguales. Tal vez te estás preguntando por qué uno podría querer hacer esto.

— user340082710

También estoy asumiendo que la línea final debería leer

c n^{2}

$cn^2$ en lugar de

c k^{2}

$ck^2$ .

— user340082710

@ZacharyFrenette Ah, tienes razón. en ese caso, no estaba seguro de cómo hizo la simplificación. ¿Por qué elegiría separar los términos de esa manera? Hay muchas formas de dividir (8/9). Creo que sé por qué uno querría hacer esto, para anular ese extra de ? De lo contrario, la desigualdad no se mantendrá. También gracias por señalar el error tipográfico, se solucionará. Si desea comentar como respuesta, puedo aceptarlo.

a n

$an$

— D. Johnson

Como señaló, la razón para dividir el término en dos partes es poder cancelar término. Si pasamos directamente de , entonces nos quedamos atascados ya que no podemos hacer nada con término. Al dividirlo de la manera descrita, esto permite que sea mayor que when , lo que le da el resultado deseado ya que para tales valores de . $an$ $(8/9)cn^2 + an \leq cn^2 + an$ $an$ $(1/9)cn^2$ $an$ $c \geq 9a$ $an - (1/9)cn^2 \leq 0$ $c$

— usuario340082710
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