Si es un lenguaje normal, entonces es regular para?

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Tenemos dos idiomas: . Sabemos que es un lenguaje regular, por lo que mi pregunta es si es regular. $L_1,L_2$ $L_1L_2$ $L_2L_1$

Trato de encontrar una manera de demostrarlo ...

No puedo suponer, por supuesto, que son regulares ... Así que busco una forma de demostrarlo. $L_1,L_2$

Me gustaría obtener alguna pista!

¡Gracias!

formal-languages regular-languages closure-properties

— stud1
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Continuemos esta discusión en el chat .

— Raphael

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No, $L_2L_1$ no es necesariamente regular.

Deje , que es regular, y , que no lo es. Entonces es el conjunto de todas las cadenas que terminan en , que es regular, pero es el conjunto de todas las cadenas que comienzan con , comienzan con un número distinto de cero de s seguido de al menos s. Este lenguaje no es regular, ya que su intersección con es , que no es -regular. $L_1 = \{0,1\}^*$ $L_2 = \{1\} \cup \{0^n1^n\mid n\geq 1\}$ $L_1L_2$ $1$ $L_2L_1$ $1$ $0$ $1$ $\{0^m1^n\mid m,n\geq 1\}$ $\{0^m1^n\mid 1\leq m\leq n\}$

— David Richerby
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Gracias David, pero ¿por qué está el " " en ? ¿Por qué lo necesitamos? ¡Gracias!

{1} \cup \dots

$\{1\}\cup \cdots$

L_{2}

$L_2$

— stud1

1

@ stud1 Para garantizar que sea regular.

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$

— David Richerby

Pero (sin el ) sigue siendo todas las palabras que terminan con , ¿verdad? Entonces, todavía trato de entender por qué necesitamos el , espero que esté bien, lo pregunto :-) ¡Gracias!

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$

{1}

$\{1\}$

1

$1$

{1}

$\{1\}$

— stud1

1

@ stud1 Si elimina entonces, por ejemplo, . En términos más generales, las únicas cadenas que estarían en serían las que terminan en para .

{1}

$\{1\}$

1 \notin L_{1} L_{2}

$1\notin L_1L_2$

L_{1} L_{2}

$L_1L_2$

0^{m} w^{n}

$0^mw^n$

m \geq n \geq 1

$m\geq n\geq 1$

— David Richerby

1

@ stud1 Correcto.

— David Richerby

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Estaba publicando solo una pista, luego vi otras respuestas completas, así que esta es una solución completa (oculta) sucinta :-)

Dejar $L_1 = \{ 1^p \mid p \text{ is prime}\}$ , $L_2 = \{ 1^* 0 \}$ ; tenemos $L_1 L_2 = \{ 11^+ 0\}$ que es regular, pero $L_2 L_1 = \{ 1^* 0 1^p \mid p \text { is prime}\}$ que no es regular

— Vor
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1

Solución elegante!

— Anton Trunov

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@AntonTrunov: bastante elegante :-)

L_{2} = {1^{*} 0}

$L_2 = \{1^* 0\}$ se puede usar para "enmascarar" cualquier UNARY no regular

L_{1}

$L_1$ , pero tan pronto como se cambian

L_{1}

$L_1$ está "expuesto" de nuevo :-)

— Vor

¿Cuál es el significado de

+

$+$ a

11^{+}

$11^+$ ?

— stud1

1

@ stud1:

1^{+}

$1^+$ significa "uno o más

1 s

$1s$ "; en otras palabras, es un" atajo "para

{1^{n} ∣ n \geq 1}

$\{1^n \mid n \geq 1\}$ . Entonces

{11^{+} 0} = {110, 1110, 11110, . . .}

$\{ 11^+0 \} = \{ 110, 1110, 11110, ...\}$

— Vor

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Esto no es una pista, sino una respuesta completa. No sigas leyendo si todavía estás tratando de resolverlo.

No hay necesidad de $L_2\cdot L_1$ ser regular

Dejar $A$ ser un lenguaje unario (no regular) tal que $A\cdot A$ es regular Tales idiomas se pueden encontrar en la publicación aquí . Asumir $A$ está sobre el alfabeto $\{a\}$ .

Definir $L_1=\{b\}\cdot A$ y $L_2=A\cdot \{b\}$ . Entonces, obtienes $L_1\cdot L_2=\{b\}\cdot A^2\cdot \{b\}$ , que es regular. Sin embargo, $L_2\cdot L_1=A\cdot \{bb\}\cdot A$ , que puede demostrarse fácilmente que no es regular, según $A$ ser no regular

— Shaull
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Las siguientes reglas definen el lenguaje asociado con cualquier expresión regular. Regla 1 El idioma asociado con la expresión regular que es solo una letra es esa palabra de una letra sola y el idioma asociado con A es solo {A}, un idioma de una palabra. Regla 2 Si r, es una expresión regular asociada con el lenguaje L, y r 2 es una expresión regular asociada con el lenguaje L2, entonces,

(i) La expresión regular (rl) (r2) está asociada con el lenguaje L, multiplicado por L 2. idioma (r, r2) = L1L 2 (ii) La expresión regular r, + r2 está asociada con el lenguaje formado por unión de los conjuntos L1 y L2. language (rl + r2) = L, + L2 (iii) El lenguaje asociado con la expresión regular (rl) * es LI *, el cierre de Kleene del conjunto LI como un conjunto de palabras. idioma (rl *) = L1 *

— Shashi Kumar
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