NP-dureza de recubrimiento con piezas rectangulares (Google Hash Code 2015 Test Round)

La ronda de prueba de Google Hash Code 2015 ( enunciado del problema ) preguntó sobre el siguiente problema:

entrada: una cuadrícula con algunos cuadrados marcados, un umbral , un área máxima $M$ $T \in \mathbb{N}$ $A \in \mathbb{N}$
salida: la mayor área total posible de un conjunto de rectángulos disjuntos con coordenadas enteras en tal que cada rectángulo incluye al menos cuadrados marcados y cada rectángulo tiene un área de, como máximo, . $M$ $T$ $A$

En la terminología de Google, la cuadrícula es una pizza, los cuadrados marcados son jamón y los rectángulos disjuntos son rebanadas.

Podemos reformular claramente este problema a un problema de decisión al agregar una entrada adicional y dejar que la respuesta sea "¿hay un conjunto de rectángulos disjuntos que satisfagan las condiciones cuya área total es al menos cuadrados". $n \in \mathbb{N}$ $n$

Mi pregunta: si bien el problema de Google pedía a los candidatos que encontraran una solución "lo mejor posible" para el problema de cálculo en una instancia específica, creo que es probable que el problema general (en su formulación de la decisión) sea NP completo. Sin embargo, no puedo encontrar una reducción para mostrar la dureza NP. (La membresía NP es inmediata). ¿Cómo demostrar que este problema es NP-duro?

Siguen algunos ejemplos para ayudar a visualizar el problema. Considere la cuadrícula de por , con cuadrados marcados , y , representada gráficamente con para indicar cuadrados marcados: $4$ $4$ $\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$ $(1, 1)$ $(0, 2)$ $(2, 2)$ X

..X.
.X..
..X.
....

Establezca (rectángulos de como máximo cuadrados) y (al menos un cuadrado marcado por rectángulo), una solución óptima (que cubre toda la cuadrícula) es tomar los siguientes rectángulos: $A = 6$ $6$ $T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

En la siguiente cuadrícula, con y : $A = 3$ $T = 2$

XXX
.X.
...

No se puede hacer mejor que cubrir solo tres cuadrados:

AAA
.X.
...

XBX
.B.
.b.

(recuerde que los rectángulos en la partición no pueden superponerse).

Con otras personas analizando esta pregunta, probamos reducciones del empaque de contenedores, cubriendo problemas, 3-SAT y ciclos hamiltonianos, y no logramos que uno funcionara.

complexity-theory reductions np-hard

— a3nm
fuente

Este es un boceto de una reducción de MONOTONE CUBIC PLANAR 1-3 SAT:

Definición [1-3 problema SAT]:
Entrada: Una fórmula 3-CNF , en la que cada cláusula contiene exactamente tres literales: . Pregunta: ¿Existe una asignación satisfactoria para modo que cada cláusula contenga exactamente un literal verdadero. $\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$ $C_j$ $C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$ $C_j$

El problema sigue siendo NP-completo incluso si todos los literales en las cláusulas son positivos (MONOTONE), si las cláusulas de conexión construidas en el gráfico con variables son planas (PLANAR) y cada variable está contenida en exactamente 3 cláusulas (CUBIC) (C. Moore y JM Robson, Problemas de mosaico duro con mosaicos simples, Discrete Comput. Geom. 26 (2001), 573-590.).

Usamos , y en las figuras el jamón está representado con cuadros azules (¿jamón transgénico?), Pizza con cuadros naranjas. $T=3, A=6$

La idea es utilizar pistas de jamón que transporten señales positivas o negativas; la pista está hecha con una alternancia de 1 y 2 piezas de jamones colocados lo suficientemente lejos para que puedan cubrirse exactamente con una rebanada de pizza del área ; los segmentos de la pista se marcan alternativamente con o , la pista llevará una señal positiva si se cortan cortes en los segmentos positivos: $A$ $+$ $-$

Cada variable , que está conectada a exactamente 3 cláusulas SAT, está representada por tres puntos finales adyacentes de tres pistas de jamón (segmento positivo), de tal manera que hay 2 formas distintas de cortarla, una "generará" una señal positiva en las 3 pistas (representa la asignación ) y la otra una señal negativa ( ). Tenga en cuenta que también podemos generar señales mixtas positivas y negativas, pero en ese caso al menos un jamón permanece sin cubrir . $x_i$ $x_i = TRUE$ $x_i = FALSE$

Cada cláusula de la fórmula SAT 1-3 con 3 literales está simplemente representada por un solo jamón con tres segmentos positivos entrantes de tres pistas de jamón distintas ; por construcción, solo una de las tres pistas que llevan una señal positiva puede "cubrir" la cláusula ham. $C_j$ $L_{i,1}, L_{i,2}, L_{i,3}$

Finalmente, podemos construir dispositivos de desplazamiento y giro para transportar las señales de acuerdo con el gráfico plano subyacente y ajustar los puntos finales:

Suponga que el gráfico resultante contiene jamones. Por construcción cada rebanada de pizza debe contener exactamente 3 jamones, y en todos los casos cada rebanada puede ser ampliado hasta el área . $H$ $A$

Si la fórmula original de 1-3 SAT es satisfactoria, entonces, por construcción, podemos cortar piezas de pizza (con un área total de ) y no queda jamón descubierto. $H /3$ $A H / 3$

En la dirección opuesta, si podemos cortar piezas de pizza (con un área total ), entonces no queda ningún jamón descubierto, y las señales en los dispositivos variables y en las cláusulas son consistentes: el jamón en la cláusula está cubierto exactamente por un segmento positivo proveniente de una variable positiva, y cada variable genera 3 señales positivas o 3 señales negativas (sin señales mixtas); entonces los cortes inducen una asignación válida de 1-3 SAT. $H /3$ $A H / 3$

— Vor
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