Dureza y direcciones de reducciones

Digamos que sabemos que el problema A es difícil, luego reducimos A al problema desconocido B para probar que B también es difícil.

Como ejemplo: sabemos que 3 colores es difícil. Luego reducimos 3 colores a 4 colores. Al combinar uno de los colores en 3 colores, tiene 4 colores, ergo 4 colores es difícil.

Así es como. Pero, ¿por qué es esto una prueba de que 4 colores es difícil? ¿Es posible usar la solución al problema de 4 colores para resolver el problema de 3 colores? ¿Si es así, cómo? Si no, ¿por qué es una prueba válida?

Bonus q: ¿Deben ser posibles las reducciones polinómicas en ambos sentidos?

Editar: si pudiera explicar por qué esto es así con un ejemplo, le haría un favor a Internet. No pude encontrar esto explicado de manera concreta en ninguna parte.

Una reducción de un problema a otro problema B es una transformación f de cualquier instancia a de A en una instancia f ( a ) de B , de modo que$A$$B$$f$$a$$A$$f(a)$$B$

Si es una transformación que preserva la complejidad que le interesa (por ejemplo, f es una transformación polinomial si considera N D- dureza), entonces la existencia de un algoritmo A B que resuelve B implica la existencia de un algoritmo que resuelve A : es suficiente para ejecutar f , entonces A B .$f$$f$$\mathsf{NP}$$\mathcal A_B$$B$$A$$f$$\mathcal A_B$

Por lo tanto la existencia de reducción tal de a B medios que B no es más fácil que A . No es necesario tener una reducción al revés.$A$$B$$B$$A$

Por ejemplo, para colorear gráficos. Puede reducir 3 colores a 4 colores, pero no de manera inmediata. Si tomas una gráfica y eliges f ( G ) = G, entonces tendrás ese x ∈ 3 C O L ⇒ f ( x ) ∈ 4 C O L pero no tienes f ( x ) ∈ 4 C O L ⇒ x ∈ 3 C O L, por supuesto. La conclusión es que la equivalencia $G$$f(G)=G$$x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$$f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$ no se respeta, entonces f noesuna reducción.$(E)$$f$

Puede construir una reducción correcta de 3 C O L a 4 C O L pero es un poco más complicado: para cualquier gráfico G , deje que f ( G ) sea ​​el gráfico G extendido con otro nodo u que está vinculado con un borde a cualquier otro nodo.$f$$3\mathsf{COL}$$4\mathsf{COL}$$G$$f(G)$$G$$u$

• La transformación preserva la complejidad (polinomio, aquí);
• si está en 3 C O L, entonces f ( G ) está en 4 C O L : simplemente use el cuarto color para usted ;$G$$3\mathsf{COL}$$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$
• si está en 4 C O L entonces se puede demostrar que todos los nodos excepto u tienen un color que no es u 's, por lo tanto, G está en 3 C O L .$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$$u$$G$$3\mathsf{COL}$

Eso prueba que $f$ es una reducción y que es más duro que 3 C O L . Puede probar la misma manera que n C O L es más difícil que m C O L para cualquier n ≥ m , la prueba interesante es el hecho de que 3 C O L es más duro que cualquier n C O L .$4\mathsf{COL}$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$$m\mathsf{COL}$$n≥m$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$