Término reescritura; Calcular pares críticos

Intenté resolver el siguiente ejercicio, pero me quedé estancado mientras trataba de encontrar todos los pares críticos .

Tengo las siguientes preguntas:

¿Cómo sé qué par crítico produjo una nueva regla?
¿Cómo sé que encontré todos los pares críticos?

Deje $\Sigma= \left \{ \circ, i, e \right \}$ donde $\circ$ es binario, $i$ es unario y $e$ es una constante.
$E = {\begin{matrix} (x \circ y) \circ z \approx x \circ (y \circ z) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i (x) \approx e \end{matrix}}$ $E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \end{gather} \right\}$

Mi trabajo hasta ahora:

$x\circ e >_{\textsf{lpo}} x$ (LPO 1) $x$ es una variable

$x\circ i(x)>_{\textsf{lpo}} e$ (LPO 2b) no hay términos en el lado derecho

$(x\circ y)\circ z\approx x\circ(y\circ z)$

$s=\circ(\underset{\large s_1}{\circ(x,y)},\underset{\large s_2}{\strut z})\qquad t=\circ (\underset{\large t_1}{x\strut}, \underset{\large t_2}{\circ(y,z)})$ (LPO 2c)

compruebe que $s>t_j$ , $j=\overline{1,m}$

$s>_{\textsf{lpo}}t_1$ (LPO 1)

para demostrar que $s>_{\textsf{lpo}}t_2$ (LPO 2c) probamos que $s >_{lpo} y (LPO 1); s >_{lpo} z (LPO 1); \circ (x, y) > y (LPO 1)$ $s>_{\textsf{lpo}} y \;\;\text{(LPO 1)};\qquad s>_{\textsf{lpo}}z \;\;\text{(LPO 1)};\qquad \circ(x,y)>y\;\;\text{(LPO 1)}$

encuentre tal que $i$ $s_i>_{\textsf{lpo}}t_i$ $i=1$ $\circ (x, y) >_{lpo} x (LPO 1)$ $\circ(x,y)>_{\textsf{lpo}}x\;\;\text{(LPO 1)}$

$(x\circ y)\circ z>_{\textsf{lpo}} x\circ (y\circ z)$

a. $(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$x_1\circ e\;\rightarrow\; x_1$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ e$

$\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;e\}$ si.
$\begin{matrix} (x_{1} \circ e) \circ z & \overset{}{\to} & x_{1} \circ z \\ ↓ & ↓ \\ x_{1} \circ (e \circ z) & \overset{}{\to} & e \circ z \approx z \end{matrix} left identity?$ $\require{AMScd} \require{cancel} \begin{CD} (x_1\circ e)\circ z @>>> \cancel{x_1}\circ z\\ @VVV @VVV\\ \cancel{x_1}\circ(e\circ z) @>>> e\circ z\approx z \end{CD}\qquad\text{left identity?}$
$(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$e\circ x_1\;\rightarrow\; x_1$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} e\circ x_1$

$\theta\{x \;\leftarrow \;e;\; y\;\leftarrow \;x_1\}$ C. $\begin{matrix} (e \circ x_{1}) \circ z & \overset{}{\to} & x_{1} \circ z \\ ↓ & ↓ \\ e \circ (x_{1} \circ z) & \overset{}{\to} & ? \end{matrix}$ $\begin{CD} (e\circ x_1)\circ z @>>> x_1\circ z\\ @VVV @VVV\\ e\circ(x_1\circ z) @>>> ? \end{CD}$
$(x\circ y)\circ z\;\rightarrow\; x\circ (y\circ z)$

$x_1\circ i(x_1)\;\rightarrow\; e$

$x\circ y \mathrel{\,=?\,} x_1\circ i(x_1)$

$\theta\{x \;\leftarrow \;x_1;\; y\;\leftarrow \;i(x_1)\}$ $\begin{matrix} (x_{1} \circ i (x_{1})) \circ z & \overset{}{\to} & e \circ z \\ ↓ & ↓ \\ x_{1} \circ (i (x_{1}) \circ z) & \overset{}{\to} & ? \end{matrix}$ $\begin{CD} (x_1\circ i(x_1))\circ z @>>> e\circ z\\ @VVV @VVV\\ x_1\circ(i(x_1)\circ z) @>>> ? \end{CD}$

Como documento de soporte tengo "Reescritura de términos y todo eso" de Franz Baader y Tobias Nipkow.

( imagen original aquí )

EDITAR1

Después de buscar los pares críticos, tengo el siguiente conjunto de reglas (suponiendo que 2.a es corect):

E = {\begin{matrix} (x \circ y) \circ z \approx x \circ (y \circ z) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i (x) \approx e \\ x \circ (i (x) \circ y) \approx y \\ x \circ (y \circ i (x \circ y)) \approx e \\ e \circ x \approx x \\ e \circ (x \circ y) \approx x \circ y \end{matrix}}

$E=\left \{ \begin{gather} ( x \circ y ) \circ z \approx x \circ\left ( y \circ z \right ) \\ x \circ e \approx x \\ x \circ i(x) \approx e \\ x \circ (i(x) \circ y) \approx y \\ x \circ ( y \circ i(x \circ y) ) \approx e \\ e \circ x \approx x \\ e \circ (x \circ y) \approx x \circ y \end{gather} \right\}$

logic first-order-logic

— Alexandru Cimpanu
fuente

@MartinSleziak Quise decir que el documento que estoy usando para resolver el problema es Reescritura de términos y todo eso "de Franz Baader y Tobias Nipkow. Y que las nociones y el estilo de notación son de allí.

— Alexandru Cimpanu

No estoy seguro de si esto lo ayudará de alguna manera, pero la búsqueda de "pares críticos", "reescritura de términos", "axiomas grupales" conduce a algunas diapositivas que hablan sobre los puntos críticos de su sistema. (O al menos un sistema muy similar). Mira aquí o aquí .

— Martin

@ MartinSleziak, eché un vistazo a las diapositivas, podrían ser útiles en este punto, fui el rey de luchar con el libro. Actualmente estoy probando algunas ideas. Gracias por tu ayuda.

— Alexandru Cimpanu

$x\circ(e\circ z) \approx x\circ z$ $0*x \approx 0*y$ $x\approx y$ (lo que significaría que solo tiene un modelo trivial). Ningún procedimiento de reescritura de sonido, incluido el de Huet, debería permitir esta reducción.

$x\circ e$ $x\circ i(x)$ $(x\circ y)\circ z$ $\circ$

$x\circ(y\circ e)\leftarrow (x\circ y)\circ e\to x\circ y$ $x\circ y\approx x\circ y$
$x\circ(y\circ i(x\circ y))\leftarrow(x\circ y)\circ i(x\circ y)\to e$ $x\circ(y\circ i(x\circ y))\to e$ $\circ\triangleright e$ $\triangleright$ $x\circ i(x)\approx e$

Para el procedimiento básico de finalización:

$x\circ(i(x)\circ z)\to e\circ z$ $(x\circ y)\circ z$ $x_1\circ y_1$ $(x\circ y)\circ(z\circ z_1)\leftarrow((x\circ y)\circ z)\circ z_1\to(x\circ(y\circ z))\circ z_1$ $x\circ(y\circ(z\circ z_1))\approx x\circ(y\circ(z\circ z_1))$
$l\to r$ $l_1\to r_1,\dots,l_n\to r_n$ $l$ $l_i$ $l$

Este procedimiento se puede mejorar bastante. En particular, puede usar nuevas reglas para simplificar las viejas (y posiblemente descartarlas si se vuelven triviales, lo que significa que están incluidas en la nueva regla), y una buena heurística para elegir el próximo par crítico para examinar puede reducir drásticamente cantidad de reglas

— Klaus Draeger
fuente

¿Podemos hacer simplificaciones como 2.a cuando hablamos del procedimiento de finalización de Huet?

— Alexandru Cimpanu

¿Cómo unifica x∘e o x∘i (x) con todo (x∘y) ∘z (es decir, usando el segundo ∘) ?

— Alexandru Cimpanu

Con respecto a esa simplificación, en 2.a, se realizó en la clase, por lo que debe tener cierta lógica detrás.

— Alexandru Cimpanu

x * y = x * z \Rightarrow y = z

$x*y=x*z\Rightarrow y=z$

No lo sé. Pensé que tenía que ver con el procedimiento de finalización avanzado (con el que no estoy familiarizado). Supongamos que 2.a es correcto, edité mi pregunta para publicar las nuevas reglas que obtuve.

— Alexandru Cimpanu