¿Es el castor ocupado la función de más rápido crecimiento conocida por el hombre?

Acabo de tener esta pregunta interesante. ¿Cuál es la función de más rápido crecimiento conocida por el hombre? ¿Está ocupado el castor ?

Conocemos funciones como , pero esta función crece más lentamente que , ¡que a su vez crece más lentamente que, que a su vez crece más lento que . ¡Entonces podemos combinar funciones, para tenerque crece más rápido que , y así sucesivamente.2 x x ! x x ( x x ) ! x $x^2$$2^x$$x!$$x^x$$(x^x)!$$x^x$

¡Luego llegamos a funciones recursivas como la función Ackermann que crece mucho más rápido que. Entonces la gente pensó en la función castor ocupado que crece aún más rápido que la función de Ackermann.( x x ) ! B ( x $A(x,x)$$(x^x)!$$B(x)$

En este punto no he oído hablar de ninguna otra función que crezca más rápido que el castor ocupado. ¿Significa que no hay otras funciones que puedan crecer más rápido que el castor ocupado? (Aparte del factorial de y como , etc.)A ( B ( x ) , B ( x ) $B(x)$$A(B(x), B(x))$

La función de castor ocupado crece más rápido que cualquier función computable . Sin embargo, puede ser calculado por una máquina de Turing a la que se le ha dado acceso a un oráculo para resolver el problema de detención. Luego puede definir una función de castor ocupado de "segundo orden", que crece más rápido que cualquier función que pueda ser calculada incluso por cualquier máquina de Turing con un oráculo para el problema de detención. Puede seguir haciendo esto para siempre, creando una jerarquía de funciones de castor ocupado cada vez más rápido.

Vea el excelente ensayo de Scott Aaronson sobre este tema, ¿Quién puede nombrar el número más grande? .

$f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$$g$$f$fgfg(n)=nf(n). fngg(n)=nmaxm≤nfm(n). gαfgαω

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$$ $f$$g$$f$ $$g(n) = nf(n).$$ $f_n$$g$ $$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$$ Una pregunta natural es si existe una "escala" de funciones de más rápido crecimiento. Este es un conjunto bien ordenado de funciones que es "cofinal", es decir, dada cualquier función , hay una función de crecimiento más rápido . (En lugar de un conjunto bien ordenado, podemos hablar de manera equivalente sobre una cadena, es decir, dos funciones del conjunto deben ser comparables). La existencia de una escala es independiente de ZFC: suponiendo CH, hay una escala, mientras que en el modelo de Cohen que falsifica CH (agregando reales), no existe escala.$g_\alpha$$f$$g_\alpha$$\omega_1$

Otras respuestas abordan la pregunta directamente. Para obtener más antecedentes y más profundos, este documento de Lafitte sobre el tema considera el contexto más amplio de las ocupadas funciones tipo castor. También tiene algunos resultados y teoremas que ajustan la idea a un marco más general. Muestra que (informalmente) las "funciones ocupadas de tipo castor" tienen una estrecha conexión con los fenómenos de incompletitud de Chaitin (Teorema 2.1). También muestra que hay teorías que no son lo suficientemente "poderosas" como para "comprender" las funciones ocupadas de los castores, es decir, no son demostrables en esas teorías debido a la incompletitud relacionada con Godel. Muestra la idea de asumir resultados ocupados como castores como axiomas y una progresión lógica de teorías que resulta similar a las ideas originalmente concebidas por Turing.

[1] Castores ocupados enloquecidos por Grégory Lafitte. Abstracto:

Mostramos algunos resultados incompletos à la Chaitin usando las funciones de castor ocupado. Luego, con la ayuda de la lógica ordinal, mostramos cómo obtener una teoría en la que los valores de las funciones de castor ocupado se puedan establecer de manera comprobable y usar esto para revelar una estructura sobre la probabilidad de los valores de estas funciones.

Los teoremas de la jerarquía de tiempo y espacio de Hartmanis-Stearns demuestran que no existe una función de "crecimiento más rápido" en términos de tiempo o espacio porque la escala no tiene límites. Pero sí da un orden tal que se pueden comparar todas las funciones computables / recursivas de "buen comportamiento". Pero muchas funciones matemáticas de "crecimiento rápido" no parecen haber sido evaluadas en términos de complejidad de tiempo / espacio hasta ahora a pesar de ser un "vacío" teórico algo obvio o incluso evidente para llenar. Hacerlo podría conducir a importantes "teoremas de puente".