Acerca de los gráficos cuyo conjunto de bordes se descompone en combinaciones perfectas

¿Existe una caracterización de gráficos cuyo conjunto de bordes se descomponga en una unión disjunta de combinaciones perfectas?

Una clase trivial de tales gráficos son los gráficos -regulares ( n , n ) -bipartitos. Su conjunto de bordes se descompondrá en d combinaciones perfectas disjuntas. $d$$(n,n)$$d$

Sí: llamamos a estos gráficos 1 factorizable (un factor 1 también se conoce como una coincidencia perfecta). Todos estos gráficos son regulares, pero lo contrario no es cierto. De hecho, un gráfico -regular G es 1-factorizable si y sólo si es de una clase, que es, χ ' ( G ) = d , donde χ ' ( G ) es el índice cromático de G .$d$$G$$\chi'(G) = d$$\chi'(G)$$G$

Decidir si un gráfico regular es de clase 1 es NP-completo (ver, por ejemplo, [1]), por lo que es probable que no pueda probar esto de manera eficiente.$d$

[1] Leven, Daniel y Zvi Galil. "NP completitud de encontrar el índice cromático de gráficos regulares". Journal of Algorithms 4.1 (1983): 35-44.