¿Cuándo es inequívoca la concatenación de dos idiomas regulares?

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Dados los idiomas $A$ y $B$ , digamos que su concatenación $AB$ es inequívoca si para todas las palabras $w \in AB$ , hay exactamente una descomposición $w = ab$ con $a \in A$ y $b \in B$ , y de lo contrario es ambigua . (No sé si hay un término establecido para esta propiedad, ¡algo difícil de buscar!) Como ejemplo trivial, la concatenación de $\{\varepsilon, \mathrm{a}\}$ en sí misma es ambigua ( $w = \mathrm{a} = \varepsilon \mathrm{a} = \mathrm{a} \varepsilon$ ), pero la concatenación de consigo misma no es ambigua. $\{\mathrm{a}\}$

¿Existe algún algoritmo para decidir si la concatenación de dos idiomas regulares es inequívoca?

— rstern
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Gah, esto es totalmente un problema de primer año de CS, ¿no? Honestamente, no he intentado mucho; Esperaba que haya un algoritmo establecido para esto en algún lugar de la literatura y no tendría que reinventar la rueda. Estoy escribiendo software por aquí; Solo tomé un par de cursos de CS (hace varios años), así que básicamente estoy empezando desde Wikipedia. Sé que a nadie le gusta alguien que no quiere trabajar por su respuesta, por lo que si hay un libro de texto o un documento o algo a lo que me pueda indicar en lugar de simplemente entregarme un algoritmo, ¡sería útil! ¡Gracias!

— rstern

Agregué esto como un comentario porque, bueno, está relativamente fuera de tema, pero tal vez pueda ayudarlo. El Consorcio Unicode tiene algunos procesos para determinar la similitud entre los idiomas. He leído un enlace muy informativo en su sitio, pero por mi vida no pude encontrarlo hoy como respuesta. Si tiene tiempo para investigar esto, aquí está su página de preguntas frecuentes unicode.org/faq

— htm11h

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Sugerencia: dados los DFA para y , construya un NFA que acepte palabras en tengan al menos dos descomposiciones diferentes. El NFA realiza un seguimiento de dos copias del NFA estándar para (formado uniendo DFA para y con transiciones ), asegurando que el cambio de a ocurra en dos puntos diferentes. $A$ $B$ $AB$ $AB$ $A$ $B$ $\epsilon$ $A$ $B$

— Yuval Filmus
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¡Gracias por la pista! Entonces, si entiendo, puedo construir un NFA para palabras ambiguas en

y luego probar ese autómata en busca de vacío. La parte difícil parece ser "asegurar que el cambio de

a

ocurra en dos puntos diferentes". No estoy seguro de cómo hacer eso, aparte de tomar el producto cruzado (?) De dos DFA

y eliminar todos los estados del producto (

-terminal,

-terminal): estoy agitando las manos, me preocupa que la transición de

NFA a

DFA estaría en desacuerdo con la idea de

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A

$A$

A

$A$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$ -terminal. Suena, um, aunque ineficiente; ¿Existe un algoritmo conocido adecuado para el software?

— rstern

Sí, no suena demasiado eficiente, aunque siempre existe la opción de hacerlo de manera inteligente. No conozco ningún algoritmo específico para este problema, pero podría existir uno.

— Yuval Filmus

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Actualizado (gracias a Yuval Filmus).

Dados dos idiomas e de , dejemos $X$ $Y$ $A^*$ Yo afirmo queno es ambiguo si y solo si el lenguajeestá vacío.

\begin{aligned} X^{- 1} Y & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that x u \in Y} \\ Y X^{- 1} & = {u \in A^{*} ∣ there exists x \in X such that u x \in Y} \end{aligned}

$\begin{align} X^{-1}Y &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $xu \in Y$} \} \\ YX^{-1} &= \{u \in A^* \mid \text{there exists $x \in X$ such that $ux \in Y$} \} \end{align}$

X Y

$XY$

X^{- 1} X \cap Y Y^{- 1} \cap A^{+}

$X^{-1}X \cap YY^{-1} \cap A^+$

$XY$ $u$ $XY$ $u = x_1y_2 = x_2y_1$ $x_1, x_2 \in X$ $y_1, y_2 \in Y$ $x_1$ $x_2$ $x_2 = x_1z$ $z \in A^+$ $u = x_1y_2 = x_1zy_1$ $y_2 = zy_1$ . Thus $z \in X^{-1}X \cap YY^{-1}$ .

Suppose now that $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ contains some nonempty word $z$ . Then there exist $x_1, x_2 \in X$ and $y_1, y_2 \in Y$ such that $x_2 = x_1z$ and $y_2 = zy_1$ . It follows that $x_2y_1 = x_1zy_1 = x_1y_2$ and hence the product $XY$ is ambiguous.

If $X$ and $Y$ are regular, then both $X^{-1}X$ and $YY^{-1}$ are regular and thus $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ is also regular (see Yuval's answer for an automaton accepting this language).

— J.-E. Pin
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What if

z

$z$ is the empty word?

— Yuval Filmus

Ooops. I update.

— J.-E. Pin