Recientemente escuché una analogía interesante que afirma que la prueba de Turing de la indecidibilidad del problema de detención es muy similar a la paradoja de barbero de Russell.

Así que me pregunté: los matemáticos finalmente lograron hacer que la teoría de conjuntos sea coherente al pasar de la formulación ingenua del campo de Cantor a un sistema de axiomas más complejo (teoría de conjuntos de ZFC), haciendo importantes exclusiones (restricciones) y adiciones en el camino.

Entonces, ¿tal vez sería posible intentar obtener una descripción abstracta de la computación general que sea más poderosa y más expresiva que las máquinas de Turing, y con la que se pueda obtener una prueba existencial o incluso un algoritmo para resolver el problema de detención para una arbitraria maquina de Turing?

Realmente no puedes comparar. La teoría de conjuntos ingenua tenía paradojas que fueron eliminadas por la teoría de conjuntos de ZFC. La teoría tiene que ser mejorada para lograr consistencia, ya que una suposición básica del trabajo científico es que la consistencia es alcanzable (de lo contrario, el razonamiento se convierte en un negocio arriesgado). Supongo que los matemáticos esperaban que fuera posible y trabajaron para resolver el problema.

No existe tal situación con la teoría de la computación y el problema de detención. No hay paradoja, no hay inconsistencia. Sucede que no hay una máquina de Turing que pueda resolver el problema de detención de TM. Es simplemente un teorema, no una paradoja.

Por lo tanto, puede ser que algún avance en nuestra comprensión del universo conduzca a modelos de computación más allá de lo que podemos imaginar ahora. El único evento de este tipo, en una forma muy débil, que permanece dentro del reino TM, posiblemente fue la computación cuántica. Aparte de este ejemplo muy débil que toca la complejidad (¿cuánto tiempo lleva?) En lugar de la computabilidad (¿es factible?), Dudo que alguien en este planeta tenga una pista de que la computabilidad más allá de TM es de esperar.

Además, el problema de la detención es una consecuencia directa del hecho de que las máquinas de Turing se pueden describir mediante un texto finito, una secuencia de símbolos. Esto es realmente cierto para todo nuestro conocimiento (hasta donde sabemos), y es por eso que el discurso y los libros son tan importantes. Esto es cierto para todas nuestras técnicas para describir pruebas y cálculos.

Entonces, incluso si tuviéramos que encontrar una manera de extender la forma en que calculamos, digamos con las máquinas T +. O significaría que hemos encontrado una manera de expresar el conocimiento más allá de escribir un documento finito, en cuyo caso todo esto queda fuera de mi jurisdicción (reclamo incompetencia absoluta) y probablemente de cualquier otra persona. O aún sería expresable en documentos finitos, en cuyo caso tendría su propio problema de detención para las máquinas T +. Y volverías a hacer la pregunta.

En realidad, esa situación existe a la inversa. Algunos tipos de máquinas son más débiles que las máquinas de Turing, como los autómatas limitados lineales (LBA). Sin embargo, son bastante potentes, pero se puede demostrar exactamente como se hace para TM que LBA no puede resolver el problema de detención de LBA. Pero TM puede resolverlo para LBA.

Finalmente, puede imaginar modelos computacionales más potentes introduciendo Oracle, que son dispositivos que pueden dar respuestas a problemas específicos y que un TM puede llamar para obtener respuestas, pero desafortunadamente no existe físicamente. Tal oracle-extended TM es un ejemplo de la máquina T + que consideré anteriormente. Algunos de ellos pueden resolver el problema de detención de TM (abstractamente, no de manera real), pero no pueden resolver su propio problema de detención, incluso de manera abstracta.

Bueno, siempre puede considerar una máquina Turing equipada con un oráculo para el problema normal de detención de la máquina Turing. Es decir, su nueva máquina tiene una cinta especial, en la que puede escribir la descripción de una máquina de Turing normal y su entrada y preguntar si esa máquina se detiene en esa entrada. En un solo paso, obtienes una respuesta, y puedes usarla para realizar más cálculos. (No importa si se trata de un solo paso o no: sería suficiente si se garantizara que estuviera en un número finito de pasos).

Sin embargo, hay dos problemas con este enfoque.

1. Las máquinas de Turing equipadas con tal oráculo no pueden decidir su propio problema de detención: la prueba de Turing de la indecidibilidad del problema de detención común puede modificarse fácilmente a esta nueva configuración. De hecho, existe una jerarquía infinita, conocida como los "grados de Turing", generada al dar al siguiente nivel de la jerarquía un oráculo para el problema de detención del anterior.

2. Nadie ha sugerido alguna manera de que tal oráculo pueda implementarse físicamente. Todo está muy bien como un dispositivo teórico, pero nadie tiene idea de cómo construir uno.

Además, tenga en cuenta que ZFC es, en cierto sentido, más débil que la teoría de conjuntos ingenua, no más fuerte. ZFC no puede expresar la paradoja de Russell, mientras que la ingenua teoría de conjuntos sí. Como tal, una mejor analogía sería preguntar si el problema de detención es decidible para modelos de computación más débiles que las máquinas de Turing. Por ejemplo, el problema de detención de los autómatas finitos deterministas (DFA) es decidible, ya que se garantiza que los DFA se detendrán por cada entrada.

Advertencia: una respuesta filosófica / sin rigor

Esto podría ser un poco "filosófico", pero creo que se ajusta al espíritu de su pregunta.

Una máquina no repetible

Una piedra angular de la prueba del problema de detención es que una máquina de Turing se comporta como una función: para la misma entrada siempre da la misma salida. Si elimina esta propiedad, no tiene que lidiar con el problema de detención "general", en el sentido de que la máquina puede descubrir sus propias propiedades. Pero también pierde muchas de las propiedades teóricas deseables de tal máquina.

Eliminar propiedades

Es un poco como pasar de la teoría de conjuntos a la teoría de categorías: pierdes algunas de las "paradojas" al perder las limitaciones. Pero el resultado es mucho más difícil de manejar.

En este caso significa: no tendría idea si la máquina le presenta el resultado "correcto". Tan pronto como pueda decidir qué resultado es correcto, debe lidiar con algún tipo de "problema de detención" aplicando la máquina a sí mismo y construyendo una contradicción. Entonces, tal máquina probablemente no sería muy útil.

El problema de detención no se formuló para expresar las limitaciones de las máquinas de Turing, sino para expresar una limitación de todos los sistemas lógicos que se pueden expresar utilizando un número finito de símbolos. Una vez que un sistema lógico tiene la capacidad de expresar las soluciones a problemas de cierta complejidad, también tendrá la capacidad de expresar problemas que no puede resolver. Cualquier extensión de un sistema lógico suficiente para expresar soluciones a todos los problemas que antes no podía resolver también incluirá la capacidad de expresar nuevos problemas que no puede resolver.

Dada cualquier especificación particular de "Máquina de Turing mejorada", sería posible especificar una "Máquina de Turing súper mejorada" que podría examinar un programa para el ETM e informar si se detendría, pero el SETM solo podría analizar programas para ETM: no podría analizar los programas SETM. No hay forma de definir una máquina que pueda analizar los programas por sí misma y determinar si se detienen porque el hecho de agregar nuevas funciones crearía nuevos requisitos para un autoanalizador, y no hay forma de hacer que las funciones "se pongan al día" con los requisitos .

Dichas máquinas se han previsto y se denominan máquinas super-Turing . Varias clases principales de máquinas de super-turing son

• Máquinas de números reales (es decir, computadoras analógicas)
• Máquinas de Turing con tiempo infinito
• Máquina de turing no determinista

No todas las máquinas de super-turing pueden resolver el problema de detención (las máquinas de turing no deterministas, en particular, no pueden). Sin embargo, las máquinas conceptuales se han creado, al menos en experimentos mentales.