¿Qué combinaciones de secuenciación previa, posterior y en orden son únicas?

Sabemos post-orden,

post L(x)     => [x]
post N(x,l,r) => (post l) ++ (post r) ++ [x]

y pre-orden

pre L(x)     => [x]
pre N(x,l,r) => [x] ++ (pre l) ++ (pre r)

y transversales en orden resp. secuencialización

in L(x)     => [x]
in N(x,l,r) => (in l) ++ [x] ++ (in r)

Se puede ver fácilmente que ninguno de los dos describe un árbol dado de manera única, incluso si asumimos claves / etiquetas distintas por pares.

¿Qué combinaciones de las tres se pueden usar para ese fin y cuáles no?

Las respuestas positivas deben incluir un algoritmo (eficiente) para reconstruir el árbol y una prueba (idea) de por qué es correcto. Las respuestas negativas deben proporcionar ejemplos contrarios, es decir, diferentes árboles que tienen la misma representación.

Primero, asumiré que todos los elementos son distintos. Ninguna cantidad de secuenciaciones le dirá la forma de un árbol con elementos [3,3,3,3,3]. Es posible reconstruir algunos árboles con elementos duplicados, por supuesto; No sé qué condiciones agradables existen suficientes.

Continuando con los resultados negativos, no puede reconstruir completamente un árbol binario a partir de su secuenciación previa y posterior. [1,2]preordenar, el orden [2,1]posterior debe tener 1en la raíz, pero 2puede ser el hijo izquierdo o el hijo derecho. Si no le importa esta ambigüedad, puede reconstruir el árbol con el siguiente algoritmo:

• $[x_1,\dots,x_n]$$[y_n,\ldots,y_1]$$x_1=y_1$
• $x_2$$y_2$$x_2 = y_2$$[x_2,\ldots,x_n]$$[y_n,\ldots,y_2]$
• $i$$j$$x_2 = y_i$$y_2 = x_j$$[x_2,\ldots,x_{j-1}]$$[x_j,\ldots,x_n]$$j-2=n-i+1$$i-2=n-j+1$
  $j-2$

$O(n^2)$$\Theta(n^2)$$O(n\,\mathrm{lg}(n))$$n\,\mathrm{lg}(n)$

$[x_1,\ldots,x_n]$$[z_1,\ldots,z_n]$

• $x_1$
• $k$$z_k = x_1$$[z_1,\ldots,z_{k-1}]$$[z_{k+1},\ldots,z_n]$$[x_2,\ldots,x_k]$$[x_{k+1},\ldots,x_n]$

$O(n^2)$$O(n\,\mathrm{lg}(n))$

El orden posterior más el orden es, por supuesto, simétrico.