La regularidad de los idiomas unarios con longitudes de palabras la suma de dos resp. tres cuadrados


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Pienso en los idiomas unarios , donde L k es un conjunto de todas las palabras cuya longitud es la suma de k cuadrados. Formalmente: L k = { a nn = k i = 1 n i 2 ,LkLkk Es fácil demostrar que L 1 = { a n 2n N 0 } no es regular (p. Ej. Con Pumping-Lemma). Además, sabemos que cada número natural es la suma de cuatro cuadrados, lo que implica que para k 4 todos los idiomas L k son regulares ya que L k = L ( a ) .

Lk={unanortenorte=yo=1knorteyo2,norteyonorte0 0(1yok)}
L1={unanorte2nortenorte0 0}
k4 4LkLk=L(una)

Ahora, estoy interesado en los casos y k = 3 :k=2k=3

, L 3 = { a n 1 2 + n 2 2 + n 3 2n 1 , n 2 , n 3N 0 } .L2={an12+n22n1,n2N0}L3={an12+n22+n32n1,n2,n3N0}

Desafortunadamente, no puedo mostrar si estos idiomas son regulares o no (incluso con la ayuda del teorema de tres cuadrados de Legendre o el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados ).

Estoy bastante seguro de que al menos no es regular, pero lamentablemente pensar no es una prueba. ¿Alguna ayuda?L2


Tal vez nuestras preguntas de referencia ( regular , no regular ) tienen punteros útiles.
Raphael

Respuestas:


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Comencemos con . Se sabe que la densidad superior de los enteros que son la suma de dos cuadrados es 0. Si L 2 fuera regular, entonces sería eventualmente periódico y, por lo tanto, dado que su densidad superior es 0, finito. Pero sabemos que hay enteros arbitrariamente grandes en L 2 , por lo que L 2 no puede ser regular.L2L2L2L2

Con respecto a , considere las palabras w k = 1 4 k 7 . Afirmo que para k < , las palabras w k , w ℓ no son equivalentes. De hecho, w k 1 4 k 8L 3 mientras que w 1 4 k 7L 3 . El criterio de Myhill – Nerode muestra que L 3 es irregular.L3wk=14k7k<wk,wwk14k8L3w14k7L3L3


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Supongamos que es regular. Entonces también lo es su complemento, que según el teorema de tres cuadrados de Legendre es { a n | n = 4 k ( 8 l + 7 ) , k , l N } . Según el teorema de Parikh , esto implicaría que el conjunto de longitudes S = { 4 k ( 8 l + 7 ) | k , lL3{an | n=4k(8l+7),k,lN}S={4k(8l+7) | k,lN}es semi-lineal, es decir, una unión finita de conjuntos lineales S i = { a i + r b i | r N } .yo=1norteSyoSyo={unayo+rsiyo El | rnorte}

Considere dos elementos con k 1 > k 2 , y sea r : = k 1 - k 2 . Si s 1 , s 2 están ambos en el mismo S i , entonces tambiéns1=4 4k1(8l1+7 7),s2=4 4k2(8l2+7 7)Sk1>k2r: =k1-k2s1,s2Syo o 2 s 2 - s 1 (dependiendo de si s 1 < s 2 o s 1 > s 2 ). Pero2s1-s22s2-s1s1<s2s1>s2

  • , donde l = 4 r - 1 ( 8 l 1 + 7 ) - l2(4 4k1(8l1+7 7))-(4 4k2(8l2+7 7))=4 4k2(8l-7 7) ,l=4r1(8l1+7)l2
  • 2(4k2(8l2+7))(4k1(8l1+7))=4k2(8l74r+14)l=2l24rl1

Ss1,s2Sk

L3 no es regular.

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