Pienso en los idiomas unarios , donde L k es un conjunto de todas las palabras cuya longitud es la suma de k cuadrados. Formalmente: L k = { a n ∣ n = k ∑ i = 1 n i 2 , Es fácil demostrar que L 1 = { a n 2 ∣ n ∈ N 0 } no es regular (p. Ej. Con Pumping-Lemma). Además, sabemos que cada número natural es la suma de cuatro cuadrados, lo que implica que para k ≥ 4 todos los idiomas L k son regulares ya que L k = L ( a ∗ ) .
Ahora, estoy interesado en los casos y k = 3 :
, L 3 = { a n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 ∣ n 1 , n 2 , n 3 ∈ N 0 } .
Desafortunadamente, no puedo mostrar si estos idiomas son regulares o no (incluso con la ayuda del teorema de tres cuadrados de Legendre o el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados ).
Estoy bastante seguro de que al menos no es regular, pero lamentablemente pensar no es una prueba. ¿Alguna ayuda?