¿En qué sentido el conjunto de Mandelbrot es "computable"?

El conjunto de Mandelbrot es una hermosa criatura en matemáticas.

Hay muchas imágenes hermosas de este conjunto creado con alta precisión, por lo que obviamente este conjunto es "computable" en algún sentido.

Sin embargo, lo que me preocupa es el hecho de que ni siquiera es enumerable recursivamente, simplemente porque el conjunto es incontable. Esto podría resolverse requiriendo algún tipo de representación finita de los puntos.

Además, aunque sabemos con certeza que muchos puntos pertenecen al conjunto y otros no, también hay muchos puntos cuya membresía en el conjunto no conocemos. Todas las imágenes que hemos visto hasta ahora pueden incluir muchos puntos que "hasta n iteraciones se mantienen en el límite", pero esos puntos pueden no pertenecer realmente al conjunto.

Entonces, para un punto dado con una presentación finita, el problema "¿Este punto pertenece al conjunto?" aún no se ha demostrado que sea decidible, si tengo razón.

Ahora, ¿en qué sentido (según qué definición) podemos decir que el conjunto de Mandelbrot es "computable"?

computability

— Motor de tierra
fuente

"Sin embargo, lo que me preocupa es el hecho de que ni siquiera es enumerable recursivamente, simplemente porque el conjunto es incontable". - eso probablemente no debería ser lo que te preocupa. Después de todo, toneladas de conjuntos de puntos realmente simples en

son incontables.

, por ejemplo.

R^{2}

$\mathbb R^2$

R^{2}

$\mathbb R^2$

— user2357112 es compatible con Monica

Respuestas:

Hay varias formas de definir lo que significa que el conjunto de Mandelbrot sea computable. Una posible definición es el modelo Blum – Shub – Smale. En este modelo, la computación real es modelada por una máquina similar a una máquina RAM, cuyo acceso a números reales está restringido a aritmética básica y comparaciones. Blum y Smale demostraron que el conjunto de Mandelbrot es indiscutible en este modelo, aunque su complemento puede enumerarse recursivamente utilizando el algoritmo tradicional utilizado para dibujarlos.

Otro modelo es el análisis computable , en el cual el conjunto de Mandelbrot es probablemente computable, como lo muestra Hertling (condicional a una conjetura ampliamente creída, la conjetura de hiperbolicidad). En este modelo, calcular el conjunto de Mandelbrot significa poder calcular una aproximación al conjunto de Mandelbrot, dentro de la precisión deseada (para la definición exacta, consulte la referencia sobre análisis computable).

¿Por qué, entonces, la computadora parece ser capaz de dibujar el conjunto de Mandelbrot? La principal dificultad para demostrar que el algoritmo tradicional funciona es que es difícil saber de antemano cuántas iteraciones ejecutar antes de decidir que el punto pertenece al conjunto. Hertling muestra que si la conjetura de hiperbolicidad ampliamente creída es válida, entonces existe un límite razonable. Presumiblemente, los programas simplemente esperan lo suficiente; o no esperan lo suficiente, pero solo obtienen una pequeña fracción de los puntos incorrectos.

— Yuval Filmus
fuente

Eché un vistazo a ambos modelos, pero ambos no son lo suficientemente buenos para mí ... Dado que lo mejor al lado de lo finito es compacto, y el conjunto de Mandelbrot es compacto, creo que debería haber un modelo que afirme que es "compacto computable" de alguna manera. Para conjuntos como

podemos decir "computable localmente compacto".

R

$R$

— Earth Engine

Básicamente, el conjunto de Mandelbrot no es computable (hasta donde sabemos). El hecho de que vea imágenes no significa que sea computable. Esas imágenes se calculan utilizando una aproximación: si el proceso se ejecuta más allá de un umbral establecido, como heurístico, el código supone que nunca terminará. Esta heurística puede estar equivocada y, como resultado, esas imágenes pueden no ser 100% precisas. En otras palabras, esas imágenes no son una imagen del "conjunto" de Mandelbrot; son de una aproximación al conjunto de Mandelbrot.

— DW
fuente

Creo que el hecho de que solo calculemos aproximaciones no es el problema. El problema sería más si estas aproximaciones convergen a algún límite que es el conjunto de Mandelbrot si aumenta el tiempo de cálculo. ¿Te entiendo mal?

— babou

@babou, ¿por qué sería ese el problema? Puedo darle un algoritmo que es una aproximación al problema de detención, es decir, converge en el límite a la solución correcta al problema de detención, pero eso no es suficiente para que consideremos que el problema de detención sea computable. No creo que me malentiendas.

— DW

Debo estar confundido en alguna parte. Tenía la impresión de que los objetos infinitos pueden considerarse computables si son el límite de una secuencia infinita de computables, con algunas condiciones específicas sobre cómo debe comportarse la convergencia al límite. Parece que hay un agujero en mi comprensión.

— babou

@babou, está bien. No dudo de tu memoria / comprensión. No había oído hablar de esa noción de computabilidad, pero te creo.

— DW

Primero, siempre debes dudar de mi memoria / comprensión. Gran parte de lo que se discute aquí no está en mi área de experiencia (anterior). En realidad, mi comprensión se basa en lo poco que leo sobre computable real, que entendí como computable con cualquier precisión requerida de manera uniforme. Luego está mi comprensión semántica más antigua de estructuras infinitas como límites de estructuras finitas en conjuntos parcialmente ordenados, aunque no estoy seguro de cómo están conectados los dos.

— babou