¿Es 2-SAT con relaciones XOR NP-completo?

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Me pregunto si hay un algoritmo polinómico para "2-SAT con relaciones XOR". Tanto 2-SAT como XOR-SAT están en P, pero ¿es su combinación?

Entrada de ejemplo:

Parte 2-SAT: (a or !b) and (b or c) and (b or d)
Parte XOR: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

En otras palabras, la entrada es la siguiente fórmula booleana:

(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d) .

$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$

Ejemplo de salida: Satisfacible: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0.

Tanto el número de cláusulas 2-SAT como el número de cláusulas XOR en la entrada son , donde es el número de variables booleanas. $O(n)$ $n$

— Albert Hendriks
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este problema es bastante cercano, bitor xor de vectores para igualar un vector objetivo , cstheory.se

— vzn

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Las relaciones 2-SAT-con-XOR pueden probarse NP-completo mediante la reducción de 3-SAT. Cualquier cláusula 3-SAT se puede reescribir en la expresión de relaciones 2-SAT-with-XOR equisatisfiable con y como nuevas variables.

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

(x_{1} \lor \bar{y}) \land (y \oplus x_{2} \oplus z) \land (\bar{z} \lor x_{3})

$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$

y

$y$

z

$z$

— Kyle Jones
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Todas las respuestas parecen ser correctas o de ayuda, pero esta me pareció la más elegante (en mi humilde opinión).

— Albert Hendriks

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Buena respuesta. Vale la pena mencionar que la mera satisfacción no sería suficiente aquí (ya que las asignaciones satisfactorias de las expresiones correspondientes a todas las cláusulas de un CNF satisfactorio podrían no coincidir), pero su expresión reescrita en realidad tiene una asignación satisfactoria correspondiente para cada asignación satisfactoria de La cláusula original.

— Klaus Draeger

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No ha especificado la aridad de sus relaciones XOR, pero como en la reducción habitual de SAT a 3SAT, siempre puede organizar que su aridad sea como máximo 3. Ahora está en una excelente posición para aplicar el teorema de dicotomía de Schaefer , que decirle si su problema está en P o NP-completo (estas son las dos únicas opciones). Si resulta que está en P, el siguiente paso podría ser mirar a Allender et al. , que le permitirá saber qué tan fácil es su problema.

— Yuval Filmus
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Esto no tiene en cuenta la condición de que haya restricciones , pero siempre puede agregar variables ficticias para asegurarse de que se cumple la condición.

O (n)

$O(n)$

— Yuval Filmus

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Según el teorema de la dicotomía de Schaefer , esto es NP completo.

Considere el caso donde todas las cláusulas tienen 2 o 3 literales en ellas; entonces podemos considerar esto como un problema de satisfacción de restricciones sobre un conjunto de relaciones de aridad 3. En particular, las relaciones son las siguientes: , , , , . $\Gamma$ $R(x,y,z)$ $x \lor y$ $x \lor \neg y$ $\neg x \lor \neg y$ $x \oplus y \oplus z$ $x \oplus y \oplus \neg z$

Ahora aplique el teorema de dicotomía de Schaefer, en su forma moderna . Verifique cada una de las seis operaciones para ver si son un polimorfismo:

Unario 0: no es un polimorfismo de . $x \lor y$
Unario 1: No es un polimorfismo de . $\neg x \lor \neg y$
Binario AND: no es un polimorfismo de . (Considere y ; ambos satisfacen la relación, pero su Y-puntiagudo Y no.) $x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
Binario OR: no es un polimorfismo de . (Considere y ; satisfacen la relación, pero no.) $\neg x \lor \neg y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$
Mayoría ternaria: no es un polimorfismo de . (Considere y y ; satisfacen la relación, pero su mayoría no.) $x \oplus y \oplus z$ $(0,0,1)$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
Minoría ternaria: no es un polimorfismo de . (Considere , y ; satisfacen la relación, pero su minoría no.) $x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$ $(0,0,0)$

Se deduce que este problema es NP-completo, incluso si restringe todas las cláusulas XOR para que tengan una longitud máxima de 3.

Por otro lado, si todas las cláusulas XOR están restringidas a una longitud máxima de 2, entonces esto está en P. En particular es equivalente a , por lo que cualquier fórmula de este tipo es equivalente a una fórmula 2SAT, cuya satisfacción se puede determinar en tiempo polinómico. $(x \oplus y)$ $(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$

— DW
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