¿Los árboles AVL no tienen peso equilibrado?

En una pregunta anterior , había una definición de árboles con peso equilibrado y una pregunta sobre árboles rojo-negros.

Esta pregunta es para hacer la misma pregunta, pero para los árboles AVL .

La pregunta es, dada la definición de árboles balanceados como en la otra pregunta,$\mu$

¿Hay algún tal que todos los árboles AVL suficientemente grandes estén balanceados ?$\mu \gt 0$$\mu$

Supongo que solo hay una definición de árboles AVL y no hay ambigüedad.

Reclamación : No, no existe tal .$\mu$

Prueba : damos una secuencia infinita de árboles AVL de tamaño creciente cuyo valor de equilibrio de peso tiende a , contradiciendo la afirmación.$0$

Deje el árbol completo de altura ; tiene nodos.$C_h$$h$$2^{h+1}-1$

Deje el árbol Fibonacci de altura ; tiene nodos. [ 1 , 2 , TAoCP 3 ]$S_h$$h$$F_{h+2} - 1$

Ahora dejemos con la secuencia de árboles que decimos que es un contraejemplo.$(T_h)_{i\geq 1}$$T_h = N(S_h,C_h)$

Considere el valor de equilibrio de peso de la raíz de para algunos :$T_h$$h \in \mathbb{N}_+$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \frac{F_{h+2}}{2^{h+1} + F_{h+2} - 1} &= \frac{1}{1 + \frac{2^{h+1}}{F_{h+2}} - \frac{1}{F_{h+2}{}}} \\ &\sim \frac{F_{h+2}}{2^{h+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{h+2} - \hat{\phi}^{h+2})}{2^{h+1}} \\ &\sim \frac{\phi^{h+2}}{\sqrt{5}\cdot 2^{h+1}} \underset{h \to \infty}{\to} 0 \end{align*}$

Esto concluye la prueba.

Notación :

• $F_n$ es el º número de Fibonacci$n$
• $\phi \approx 1.6$ es la proporción áurea , su conjugado.$\hat{\phi} \approx -0.62$
• $f \sim g$ significa que y son asintóticamente iguales, es decir, .$f$$g$$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$

Nota bene : los árboles de Fibonacci son exactamente aquellos árboles AVL con menos nodos para una altura dada (o, equivalentemente, la altura máxima para un número dado de nodos).

Anexo : ¿Cómo podemos llegar a los árboles de Fibonacci si no hubiéramos escuchado a un profesor mencionarlos? Bueno, ¿cómo sería un árbol AVL de altura con el menor número de nodos posible? Ciertamente, necesitas una raíz. Uno de los subárboles debe tener una altura , y tenemos que elegirlo con el menor número de nodos posible. El otro puede tener altura sin violar la condición de equilibrio de altura, y lo elegimos también con el menor número de nodos posible. ¡En esencia, construimos los árboles que queremos recursivamente! Estos son los primeros cuatro:$h$$h-1$$h-2$

^{[ fuente ]}

Configuramos una recurrencia para el número de nodos en el árbol así construido con altura :$f(h)$$h$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(2) &= 2 \\ f(h) &= f(h-1) + f(h-2) + 1 \qquad n \geq 3 \end{align*}$

Resolverlo conduce a que usamos anteriormente.$f(h) = F_{h+2} - 1$

Nievergelt y Reingold (1972) dan la misma prueba (con menos detalles) en los árboles de búsqueda binaria de equilibrio acotado .