Prueba del teorema de Karp-Lipton

Estoy tratando de entender la prueba del teorema de Karp-Lipton como se afirma en el libro "Complejidad computacional: un enfoque moderno" (2009).

En particular, este libro establece lo siguiente:

Teorema de Karp-Lipton

Si NP , entonces PH . $\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

Prueba: según el teorema 5.4, para mostrar PH , es suficiente mostrar que y en particular es suficiente para mostrar que contiene el -completo idioma SAT. $= \Sigma^p_2$ $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma^p_2$ $\Pi^p_2$ $\Pi_2$

El teorema 5.4 establece que

para cada , si entonces PH = . Es decir, la jerarquía colapsa al nivel i-ésimo. $i \geq 1$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p$

No entiendo cómo implica . $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$ $\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

Como una pregunta más general: ¿esto vale para cada , es decir, implica para todo ? $i$ $\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$ $i \geq 1$

complexity-theory complexity-classes

— WardL
fuente

Después de un tiempo, si no recuerdo mal, llegamos a una vaga explicación: "Si , entonces podemos transformar una fórmula con cuantificadores en una con cuantificadores , que podemos usar para transformar una fórmula de de la forma a una de las formas , que lo coloca en , que colapsa la jerarquía. No estoy seguro de entender este argumento por completo.

Π_{2}^{p} \subseteq Σ_{2}^{p}

$\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$

\forall . . . \exists

$\forall ... \exists$

\exists . . . \forall

$\exists ... \forall$

Σ_{3}^{p}

$\Sigma_3^p$

\exists . . . \forall . . . \exists

$\exists ... \forall ... \exists$

\exists . . . \exists . . . \forall

$\exists... \exists... \forall$

Σ_{2}^{p}

$\Sigma_2^p$

— WardL

Otra sugerencia / idea, los enunciados matemáticos cambian entre inclusión de subconjuntos e igualdad (admitir que esto es común en la teoría de la complejidad) ¿Hay alguna manera de apegarse a / stdize / reformular en uno u otro? fyi Karp-Lipton thm / wikipedia

— vzn

Recuerde que iff . Supongamos ahora que , y deje . Entonces y así por suposición, lo que implica que . En otras palabras, , y entonces . $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$ $L \in \Pi_i^p$ $\bar{L} \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $L \in \Sigma_i^p$ $\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$ $\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

He aquí por qué iff . Para concreción, tomamos . Por definición, $L \in \Sigma_i^p$ $\bar{L} \in \Pi_i^p$ $i = 3$ si para algún predicado de tiempo P, De manera similar,if para algún predicado de tiempo P, $L \in \Sigma_3^p$ $T$

X \in L \Leftrightarrow \exists El | y El | < El | X {El |}^{O (1)} \forall El | z El | < El | X {El |}^{O (1)} \exists El | w El | < El | X {El |}^{O (1)} T (X, y, z, w) .

$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$

\bar{L} \in Π_{3}^{p}

$\bar{L} \in \Pi_3^p$

S

$S$

X \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall El | y El | < El | X {El |}^{O (1)} \exists El | z El | < El | X {El |}^{O (1)} \forall El | w El | < El | X {El |}^{O (1)} S (X, y, z, w) .

$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$ Sin embargo, estas dos declaraciones son equivalentes, como lo demuestra una simple invocación de las leyes de De Morgan, junto con el hecho de que P está cerrado bajo complementación (tome ).

S = \neg T

$S = \lnot T$

— Yuval Filmus
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