Probar el cierre bajo la complementación de idiomas aceptados por los autómatas min-heap

Esta es una pregunta de seguimiento de esta .

En una pregunta anterior sobre máquinas de estado exóticas , Alex ten Brink y Raphael abordaron las capacidades computacionales de un tipo peculiar de máquina de estado: los autómatas de min-montón. Pudieron demostrar que el conjunto de idiomas aceptados por tales máquinas ($HAL$) no es un subconjunto ni un superconjunto del conjunto de lenguajes libres de contexto. Dada la resolución exitosa y el aparente interés en esa pregunta, procedo a hacer varias preguntas de seguimiento.

Se sabe que los idiomas regulares están cerrados bajo una variedad de operaciones (podemos limitarnos a operaciones básicas como unión, intersección, complemento, diferencia, concatenación, estrella de Kleene e inversión), mientras que los idiomas libres de contexto tienen un cierre diferente propiedades (estas están cerradas bajo unión, concatenación, estrella de Kleene e inversión).

¿HAL está cerrado bajo complementación?

Reclamo :$\mathrm{HAL}$No está cerrado contra el complemento.

Idea de prueba : hemos acordado que$\mathrm{EPAL}$ (el lenguaje de incluso palíndromos sobre un alfabeto no unario) no está en $\mathrm{HAL}$. Mostramos que$\overline{\mathrm{EPAL}} \in \mathrm{HAL}$.
Esto funciona solo para el tipo 1 (ya que el tipo 2 puede aceptar$\mathrm{EPAL}$); Sin embargo, la prueba se puede adaptar para adaptarse al tipo 2, ver más abajo.

Prueba : tenga en cuenta que

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \overline{\mathrm{EPAL}} &= \{vw : |v|=|w|, v\neq w^R\} \\ &\cup\ \,\{w : |w| \in 2\mathbb{N}\!+\!1\} \end{align*}$

Construimos un autómata de montón mínimo con dos símbolos de montón $b < a$ que funciona así:

• En el estado inicial, decida sin determinar si la longitud de la entrada es par.
• En el camino desigual, use el control finito para aceptar la entrada si y solo si su longitud es impar.
• En el camino uniforme, proceda así: $$\underbrace{v_1\ \dots\ \mathbf{v_{i}}}_{+a}\ \underbrace{v_{i+1}\ \dots\ v_n}_{+b}\ \underbrace{w_n\ \dots\ w_{i+1}}_{-b}\ \underbrace{\mathbf{w_i}\ \dots\ w_1}_{-a}$$
  • Comience agregando uno $a$ para acumular cada símbolo de lectura.
  • En una posición determinada no determinista, almacene el símbolo actual en control finito y comience a agregar uno. $b$ (y no $a$) para acumular cada símbolo de lectura.
  • En una posición determinada no determinista, deje de agregar símbolos y consuma uno $b$ por símbolo de entrada.
  • Cuando todo $b$se consumen, compare el símbolo actual con el que está almacenado en el control. Si son desiguales, continúe; De lo contrario, rechazar la entrada.
  • Consume uno $a$por símbolo de entrada. Si el montón está vacío al mismo tiempo que termina la entrada, acepte la palabra; rechazar lo contrario.

El autómata de montón mínimo descrito acepta $\overline{\mathrm{EPAL}}$. Como complemento,$\mathrm{EPAL}$, no está en$\mathrm{HAL}$, hemos probado el reclamo.

Nota: La prueba se puede realizar de la misma manera con$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$(que está en$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL}$) y su complemento. Esto extiende el resultado anterior al tipo 2.