¿Se define este lenguaje usando primos gemelos regulares?

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$\qquad L = \{a^n \mid \exists_{p \geq n}\ p\,,\ p+2 \text{ are prime}\}.$

¿ es regular? $L$

Esta pregunta parecía sospechosa a primera vista y me di cuenta de que está relacionada con la conjetura del primo gemelo . Mi problema es que la conjetura aún no se ha resuelto, por lo que no estoy seguro de cómo proceder para decidir que el idioma es regular.

— Daniil
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Tenga en cuenta que si entonces es un cociente: (o, es el conjunto de prefijos de ). En general, para cualquier idioma unario el idioma es regular.

P = {a^{p} : p, p + 2 \in P}

$P=\{a^p:p,p+2\in\mathbb{P}\}$

L

$L$

L = P / a^{*}

$L=P/a^{\ast}$

P

$P$

P

$P$

P / a^{*}

$P/a^{\ast}$

— sdcvvc

Una variante divertida es . Esto es regular si la conjetura del primo gemelo es falsa.

L = {a^{p} : p and p + 2 are prime}

$L = \{ a^p : p \text{ and } p+2 \text{ are prime} \}$

— Yuval Filmus

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Si la conjetura del primo gemelo es verdadera, entonces , que es regular. Si la conjetura de los primos gemelos no es verdadera, entonces hay finitamente muchos primos gemelos; de hecho, hay un par más grande de primos gemelos . En este caso, , un lenguaje finito. En cualquier caso, obtienes un lenguaje regular, por lo que creo que es seguro concluir que es un lenguaje regular ... simplemente no sabremos cuál es hasta que se resuelva la conjetura del primo gemelo. $L = a^{*}$ $\{p, p + 2\}$ $L = \{a^{n} | n < p + 1\}$ $L$

— Patrick87
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<estado haciendo demasiada lógica intuicionista> ¿Podría la conjetura primo gemelo ser indecidible?

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

@Gilles ¿Es indecidible realmente el término correcto aquí? O hay infinitos primos gemelos o no los hay.

— Zach Langley

@ZachLangley No necesariamente: la conjetura de primo gemelo (TP) podría ser indecidible (en el sentido de ser independiente de los axiomas matemáticos habituales) . Pero mi comentario fue una broma (imposible de obtener si no sabes qué es la lógica intuicionista ; de hecho, de "TP o no TP", podemos deducir que " es finito o es ", así que es de todas formas regulares.

L

$L$

L

$L$

L = a^{*}

$L=a^*$

L

$L$

— Gilles parada SO ser maligno '

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Sí, este idioma es regular. La conjetura de doble primo no necesita resolverse para ver esto:

Supongamos que la conjetura del primo gemelo es verdadera, es decir, para cualquier , podemos encontrar un primo tal que sea primo. Entonces, en particular, , ya que la condición siempre es verdadera. Este último lenguaje es expresable por y, por lo tanto, es regular. $n$ $p \geq n$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \in N \}$ $a^*$

$N$ $p$ $p+2$ $n > N$ $p$ $p+2$ $L = \{ a^n | n \leq N \}$

$L$

— Alex ten Brink
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Es regular en cualquier caso.

$L=\{a^n:n\geq 0\}=L(a^*)$
$L$

— Janoma
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