¿Cuáles serían las implicaciones en el mundo real de una prueba constructiva

Tengo una comprensión de alto nivel del problema y entiendo que si se "probara" absolutamente que es cierto con una solución provista, se abriría la puerta para resolver numerosos problemas dentro del ámbito de la informática.$P=NP$

Mi pregunta es, si alguien publicara una prueba indiscutible y constructiva de , ¿cuáles son algunos de los efectos inmediatos que veríamos de tal descubrimiento? $P=NP$

No estoy pidiendo puntos de vista obstinados sobre cómo sería el mundo en 5-10 años. En cambio, tengo entendido que este es un problema tan fundamentalmente insoluble que podría cambiar radicalmente la forma en que calculamos ... muchas cosas (sí, aquí es donde se muestra mi ignorancia ...) que no podemos calcular fácilmente hoy .

¿Qué tipo de efecto casi inmediato tendría una prueba exhaustiva, precisa y constructiva de en el mundo práctico?$P=NP$

La gente ha dado buenas respuestas suponiendo que con alguna constante realmente grande. Voy a jugar al optimista y asumir que encontramos una prueba de P = N P con una constante muy pequeña. Tal vez no sea probable, pero voy a tratar de dar una idea de qué tipo de cosas sucederían si podíamos resolver de manera eficiente todas las N P problemas.$P=NP$$P=NP$$NP$

• Compiladores: algunos programas de computadora serían un poco más rápidos, ya que los compiladores usan colores de gráficos para la asignación de registros. Podríamos asignar exactamente un gran número de registros. Los compiladores existentes que usan una solución aproximada (como los gráficos cordales) obtendrían mejores resultados, y los que usan una solución exacta serían más rápidos.

• Ubicación de la instalación: las empresas podrían encontrar el lugar óptimo para colocar fábricas y depósitos de suministros para enviar a sus tiendas, cuando posiblemente haya miles de tiendas y fábricas. Probablemente no sería una gran mejora con respecto a las aproximaciones modernas, pero reduciría los costos.

• Compra de boletos de avión: los boletos de avión son raros ya que no siguen la igualdad triangular. A veces es más barato volar desde A -> B -> C que directamente desde A -> C, algo que no aparece al modelar distancias. Sería fácil crear un sitio web que encuentre la secuencia más barata de vuelos que visiten varias ciudades y comience y termine en su ciudad natal.

• Diseño del circuito: los circuitos eléctricos en un chip son básicamente fórmulas booleanas. Cosas como la minimización podrían calcularse de manera eficiente, por lo que nuestro hardware sería un poco más eficiente.

• Programación: ¿enojado porque su escuela puso dos de sus exámenes al mismo tiempo? Si su escuela podría saber cuántos intervalos de tiempo necesitan para que ningún estudiante tenga un conflicto, o si se le da un número de intervalos de tiempo, minimice la cantidad de conflictos.$P=NP$

Esto es solo una muestra de aplicaciones prácticas que veríamos si la completitud de no fuera una barrera. Estoy seguro de que me he perdido muchos, pero si la construcción dada tuviera una buena constante, las implicaciones serían de gran alcance.$NP$

No veremos necesariamente ningún efecto. Suponga que alguien encuentra un algoritmo que resuelve 3SAT en variables en 2 100 n operaciones básicas. No podrá ejecutar este algoritmo en ninguna instancia, ya que lleva demasiado tiempo. O suponga que encuentra un algoritmo que se ejecuta en n 100 operaciones básicas. Solo podremos usarlo en instancias de 3SAT en una sola variable, ya que para más variables lleva demasiado tiempo.$n$$2^{100} n$$n^{100}$

Por otro lado, suponga que P NP, y que incluso la hipótesis del tiempo exponencial más fuerte es válida. Entonces, en general, 3SAT no debe ser manejable. Sin embargo, los solucionadores de SAT parecen estar bien en ciertos problemas.$\neq$

¿Que esta pasando aqui? Hay varios problemas con la pregunta P vs. NP:

1. Solo se refiere al peor de los casos.
2. Es solo asintótico.
3. Todos los límites de tiempo polinómicos son iguales.

Estos problemas ponen en duda su relevancia para el mundo real. Ahora podría suceder que se encuentre un algoritmo realmente rápido para 3SAT, tan rápido que incluso el cifrado simétrico podría romperse. Pero considero esto altamente improbable. Por otro lado, es perfectamente consistente que P sea diferente de NP mientras que el factoring es práctico; eso rompería ciertos esquemas de cifrado de clave pública. Esta es una situación probable que tendría repercusiones, pero no está relacionada con la pregunta P vs. NP.

La pregunta P vs. NP podría ser natural desde un punto de vista matemático, pero su relevancia práctica es dudosa, en mi opinión. La investigación sobre la cuestión, por otro lado, podría o no tener repercusiones prácticas; no se guía por este aspecto.

$\sf P = NP$$\sf NP \subseteq BPP$

$\sf NP$

[1] Russell Impagliazzo. Una vista personal de la complejidad del caso promedio. Conferencia de Complejidad, 1995.

Incluso sin P = NP, las computadoras de hoy son increíblemente poderosas.

• 12873891274647018937561708356916501047777612653914909670721635802187 puede ser factorizado por una sola computadora en menos de un segundo.
• Para tareas más difíciles, como sintetizar el diseño eléctrico de un chip a partir de una descripción de nivel superior de sus funciones, o corregir fotomascaras para compensar los artefactos del proceso de fabricación, los grupos de cientos de computadoras trabajan un día completo para permitir lo imposible.
• Las computadoras de hoy son capaces de probar teoremas matemáticos que ningún humano pudo probar, como que las álgebras de Robins son booleanas, o que cierta constante que se conjetura que no tiene límites ( problema de discrepancia de Erd ) es mayor que 2.
• Los programas de análisis de código fuente estático pueden identificar vulnerabilidades como el error Heartbleed .
• Las herramientas de razonamiento automatizadas como prover9 o the-E-teorema-prover pueden probar la mayoría de las caracterizaciones algebraicas comunes de semigrupos inversos y anillos fuertemente regulares sin ninguna ayuda explícita.

Editar 22 de enero de 2018 Ahora descubrí cómo debería haber "interpretado" el texto citado en el ejemplo a continuación. Fue mi culpa, el elemento inverso debía ser único . Aquí está mi archivo de entrada del 22 de diciembre de 2014 ( addinvrig.in ) y aquí está el archivo de entrada fijo de hoy ( addinvrigFixed.in ). La línea crucial es que (x+(-x))+((-y)+y)=((-y)+y)+(x+(-x)).el poder de las herramientas de razonamiento automatizadas en sí mismas sigue siendo fascinante para mí, incluso si no pueden salvarme de malinterpretar los escritos de otras personas.

El uso de herramientas de razonamiento automatizado es sorprendentemente útil para mí, cuando me encuentro con teoremas citados donde no estoy seguro de cómo "interpretar" el texto :

$x, y \in S$$(x \cdot y)' = x' \cdot y = x \cdot y'$$x' \cdot y' = x \cdot y$
$a \in aS \cap Sa$$a \in S$$S$

Adapté mis archivos de entrada prover9 para este teorema, e inmediatamente se me mostró un contraejemplo para el teorema como se citó. La modificación leve de los supuestos produjo muchos teoremas verdaderos similares, lo que hace que sea más probable que Karvellas haya declarado y demostrado un teorema correcto, que aquí solo se citó incorrectamente. Buscar en Google la referencia de este teorema solo arrojó otro artículo que citaba a Karvellas aún menos preciso .

Esta es una colección increíblemente incompleta de resultados asistidos por computadora para problemas específicos que son intratables en general si P! = NP. Tal vez esta colección deja claro al menos a algunos lectores que todos tendemos a subestimar los poderes de las computadoras en este dominio. Muchas otras respuestas a esta pregunta parecen sugerir que no habría grandes consecuencias si las computadoras mejoraran (ligeramente) en la resolución de problemas insolubles. Pero las computadoras mejoran en la resolución de problemas intratables todo el tiempo (porque se gasta bastante tiempo y dinero para que esto suceda), y esto tiene consecuencias muy reales. Si se probara P = NP, entonces tal vez aumentaría la conciencia de lo que las computadoras realmente pueden hacer (incluso hoy), y más personas usarían computadoras para ayudarlos con tales tareas. (PD: estoy convencido de que P! = NP,

Hay muchas opiniones sobre las implicaciones del mundo real de P = NP. Como se ve en otras buenas respuestas, hay principalmente 2 escuelas de pensamiento. Una es que un algoritmo de tiempo P puede ser muy difícil o inviable de implementar debido a "anomalías inesperadas" asociadas con la abstracción. p.ej:

• el programa puede ser demasiado "grande" para codificar realmente
• podría haber una constante muy grande involucrada de tal manera que para todas las instancias al alcance de la "computación terrestre", todavía son de larga duración, es decir, la eficiencia no "entra en juego", excepto en instancias muy grandes. se sabe que algunos algoritmos realmente encajan en este caso como señaló recientemente Knuth (pregunta 15)

En general, estoy buscando un mayor enfoque en algoritmos que funcionen rápido con respecto a problemas cuyo tamaño, n, es factible. La mayor parte de la literatura actual está dedicada a algoritmos que son asintóticamente excelentes, pero son útiles solo cuando n excede el tamaño del universo.

Impagliazzo realiza un famoso estudio de caso como lo cita J. en otra respuesta. Sin embargo, su ensayo ha sido extrapolado de alguna manera mientras tanto. Aquí hay una gran referencia nueva de un experto que aborda esta pregunta en una especie de escenario futuro de ciencia ficción, ch2 / p11. resumiendo

El boleto dorado: P, NP y la búsqueda de lo imposible por Lance Fortnow

• "Si resulta que P = NP y tenemos algoritmos eficientes para todos los problemas de NP, el mundo cambiará de manera que haga que Internet parezca una nota al pie de la historia. No solo sería imposible describir todos estos cambios sino también Las mayores implicaciones de las nuevas tecnologías serían imposibles de predecir ".

• Algoritmo implementado rápidamente en supercomputadora. Boeing contrata de inmediato para obtener un mejor diseño de ala para un nuevo avión que le permita volar sin escalas desde Londres a Sydney.

• El algoritmo de búsqueda utilizado para encontrar un nuevo algoritmo que sea aún más rápido, optimiza la solución original P = NP. Finaliza con el resultado de 42 millones de líneas de código ininteligible. Llamado el "algoritmo Urbana"

• Algoritmo utilizado para encontrar tratamientos personalizados para el cáncer / curas casi adaptadas a las personas. cura el cáncer, el SIDA, la diabetes, pero el resfriado común sigue siendo un misterio

• El algoritmo de súper programación permite a los pronosticadores "hacer avances increíbles en la predicción del clima, permitiendo predicciones precisas de temperatura, vientos, nubosidad y precipitación casi un año antes. Algoritmos similares ahora salvan vidas al predecir con precisión tormentas, tornados, huracanes para que la gente pueda preparar o evacuar según sea necesario ".

• Reconocimiento facial altamente preciso

• La computadora puede reconstruir modelos 3D de una escena en tiempo real desde diferentes ángulos de cámara

• Los algoritmos informáticos controlan las operaciones de la cámara para eventos deportivos (en lugar de ser controlados por humanos)

• El algoritmo genera comentarios y repeticiones automatizadas que incluyen ángulos y estadísticas bien elegidos, y se generan en cualquier idioma en tiempo real

• El béisbol / deporte de fantasía adquiere una nueva dimensión con simulaciones altamente precisas

• Recetas de comida mejoradas por el algoritmo

• El algoritmo podría usarse para "aprender casi cualquier cosa, incluyendo lo que hace buen arte, música popular y palabras que conmueven el alma. Recuerde que P = NP significa que lo que podemos probar, podemos encontrarlo. Entonces, una vez que tenga un algoritmo proceso para reconocer la grandeza, puede usar el algoritmo nuevamente para encontrar rápidamente esa grandeza ".

• El político utiliza un algoritmo informático para reconocer grandes discursos y generar uno que se ajuste a los patrones. El discurso se vuelve viral en internet.

• Las personas generan obras de arte completas a partir de arte incompleto / inacabado, por ejemplo, sinfonías. usan algoritmos para generar nuevos registros de Beatles / Elvis. Nuevo arte, novelas, obras de teatro y poesía, por ejemplo, comedia romántica con Humphrey Bogart / Julia Roberts.

• Amazon puede crear novelas personalizadas para personas bajo demanda. NBC crea series de televisión de acción y aventura en vivo creadas completamente por computadora

• Realidad virtual simulada en videojuegos que permite cualquier acción de los jugadores en lugar de un conjunto fijo de posibles argumentos.

• La policía usa el algoritmo como "una herramienta increíble para resolver crímenes, aparentemente haciendo lo imposible para localizar a los sospechosos". El algoritmo informático puede reconstruir caras probables (para bocetos compuestos) utilizando solo ADN. La policía compara a un sospechoso de asesinato utilizando una búsqueda masiva de la base de datos de fotos de la licencia de conducir alineada con el boceto generado (del ADN).

Desafortunadamente, no mucho de lo que Fortnow describe anteriormente está respaldado por la literatura científica real, excepto tal vez una extrapolación imaginativa de los mundos Impagliazzos. Se necesitaría mucho más para diseccionar este punto por punto, pero para resumir, todo parece ser entretenido pero fantástico / ilusorio (o tal vez ese es su punto oculto). De hecho, hay principios científicos que están en conflicto con muchos de los elementos. Y observe que Fortnow es un fanático de los deportes, por lo que desarrolla una metáfora extendida en esa área, pero ¿podría esto ser más una indicación de que los humanos piensan en surcos ?

Por ejemplo, se sabe que el "efecto mariposa" implica que la predicción meteorológica precisa más allá de un (digamos) horizonte de varios días es imposible debido a la "dependencia sensible de las condiciones iniciales" (y Fortnow admitió más tarde en su blog que criticó repetidamente exactamente esto punto). Además, existe una gran cantidad de evidencia de que las computadoras fallan en tareas altamente subjetivas para los humanos, como generar o identificar arte influyente (una tarea en la que incluso los humanos expertos no tienen éxito consistentemente).

En realidad, toda la cuestión está rayando en contrafactual o una premisa falsa . Tenga en cuenta que una gran mayoría de científicos expertos encuestados piensan / creen, a pesar de la falta de pruebas incontrovertibles hasta ahora, P ≠ NP. y es natural compararlo con otras leyes / restricciones / limitaciones conocidas como la termodinámica (por ejemplo, imposibilidad de movimiento perpetuo / energía libre ) y estadísticas, por ejemplo, el teorema del "no almuerzo gratis" .

Entonces, la conclusión es que quizás incluso los científicos expertos no pueden predecir exactamente el resultado de P = NP. Entonces, quizás la mejor respuesta por ahora es admitir que los humanos no tienen una buena respuesta en este momento.

P vs. NP, técnicamente vs. moralmente

Como dijo Yuval, es posible que P = NP sea técnicamente cierto pero moralmente falso. P = NP es moralmente cierto (incluso si no es necesariamente técnicamente) si hay un algoritmo determinista rápido (digamos , o tal vez incluso O ( n lg ∗$O(n^2)$$O(n^{\lg^* n})$$2^{65536}+2^{1024}n^{256}$$O(n^{\lg n})$

Entonces, ¿qué sucede si P = NP es moralmente cierto?

$Q$$Q$cierto, entonces todos estos problemas pueden resolverse muy rápido. Solo para dar un ejemplo, puede aprender los mejores pesos para modelos de aprendizaje automático muy complicados. Puede romper los protocolos de cifrado.

$\neq$

$\neq$

$\neq$

$\neq$

$\neq$

Si sabe que desea resolver un problema de NP completo no en entradas generales sino en entradas con propiedades particulares, no necesita preocuparse por el problema general. Solo necesita resolver el problema más simple. Desafortunadamente, a menudo no es fácil determinar qué tipo de entradas le interesan en la práctica.

Aún así, la heurística puede funcionar increíblemente bien en la práctica, como vemos con SAT o Programación de enteros o Machine Learning. (El aprendizaje PAC usando el modelo muy simple de 3-DNFs es intratable si NP$\neq$

¿Qué tipo de efecto casi inmediato tendría una prueba exhaustiva y precisa de P = NP, con una solución proporcionada, en el mundo práctico?

Es probable que surjan muchas cosas buenas, pero a nadie le importaría.

El problema es que la base de (casi) todo el cifrado moderno se basa en el supuesto de que P no igual a NP. El cifrado que protege su contraseña a medida que pasa por Internet y se guarda en las bases de datos. El cifrado que protege los datos de la tarjeta de crédito a medida que pasa por Internet ... El cifrado que protege los miles de millones de transacciones financieras diarias que vinculan nuestra economía global al organismo gigante que es.

Mejor caso, P = NP significa que se detiene. La gente vuelve a usar efectivo y los bancos intentan registrar estos retiros de efectivo en algún medio desconectado ya que las transacciones a una oficina central ya no son confiables. Esto dura unos pocos meses hasta que se implemente una mejor encriptación a nivel mundial. Mejor caso.

En el peor de los casos, P = NP significa que alguien rompe el mundo. La moneda se basa en el concepto de confianza. Usted valora un dólar, porque confía en que su vecino le dará bienes o servicios por un dólar. Usted valora su computadora diciendo que tiene 500 dólares en el banco, porque puede deslizar su tarjeta y obtener 500 dólares en bienes y servicios ...

¿Y si no pudieras confiar en eso? Si P = NP, alguien podría hacerse pasar por varios bancos, gobiernos, personas y aleatorizar efectivamente la cantidad de moneda en cada cuenta. Eliminar la moneda en cada cuenta. Claro, varios bancos tienen copias de seguridad para justificarlo, pero ¿por cuánto tiempo se ha roto su cifrado? ¿Qué transacciones fueron buenas y cuáles fueron suplantadas? Es imposible saberlo.

Una vez que se rompe esa confianza, se produce el caos. Cualquier beneficio de poder lidiar con el problema del vendedor ambulante (por ejemplo) se ignora a medida que las personas luchan por alimentarse.

Es probable que la realidad esté en algún punto intermedio, pero con suerte esto representa una imagen lo suficientemente grande de cuán importante es este problema.

Se producirá una caída masiva en el costo de los equipos, la electricidad y los enfoques de nube. Muchas cosas se están calculando con la fuerza bruta en este momento, o con aproximaciones que todavía usan algo de fuerza bruta pesada. Ya no haremos todos esos cálculos de fuerza bruta paralizados masivamente.

De ninguna manera es el único uso de la computación en la nube, pero seguirá siendo un factor notable en el uso de energía, el procesamiento en la nube, etc. Solo el ahorro de energía podría ser notable en nuestra huella de carbono.

La IA también será mucho mejor. Finalmente, podemos tener una computadora que puede ser el mejor jugador de GO, y su calculadora gráfica le ganará en el ajedrez.

$\ne$ NP y encontramos soluciones donde eran críticas (como soluciones aproximadas).

Y la conjetura que se refuta no significa que todos los problemas de utilidad práctica se resolverían en un chasquido de dedos. En primer lugar, aún pueden ser más difíciles que NP.