Máquina de Turing de alfabeto infinito

¿Es una máquina de Turing que puede leer y escribir símbolos de un alfabeto infinito más poderosa que una TM normal (esa es la única diferencia, la máquina todavía tiene un número finito de estados)?

La intuición me dice que no, ya que necesitas un número infinito de estados para diferenciar cada símbolo. Así que creo que algunos de los símbolos o las transiciones causadas por los símbolos (o algunos subconjuntos de las transiciones) tienen que ser equivalentes. Por lo tanto, puede simular dicha máquina con una TM regular y un subconjunto acotado de tales símbolos o transiciones.

¿Cómo podría acercarme a una prueba formal de esto?

No, sería más poderoso. La función de transición ya no sería finita, y eso te da mucha potencia.

Con un alfabeto infinito, puede codificar cualquier elemento de entrada de un conjunto infinito en un símbolo (aunque el conjunto de entrada no puede ser "más infinito" que el conjunto de alfabeto, por ejemplo, el alfabeto probablemente sería infinitamente contable, por lo que los elementos de incontable conjuntos como los números reales no se pueden representar en un símbolo). Y del mismo modo para la salida.

Por lo tanto, puede hacer un alfabeto infinito TM de dos estados (uno inicial, uno aceptado) con una sola transición que se mueve al estado de aceptación y cambia el símbolo debajo del cabezal de la cinta de acuerdo con la función que está tratando de calcular. Esta receta le permitiría calcular cualquier mapeo entre conjuntos que se pueda poner en una correspondencia uno a uno con el alfabeto.

Por lo tanto, para evitar que ese tipo de máquina degenerada sea la respuesta a todo, deberá restringir lo que puede hacer la función de transición. Una obvia sería requerir que la función de transición en sí sea computable (las funciones de transición de TM ordinarias son trivialmente computables después de todo, ya que son finitas). Pero entonces intentaría usar funciones computables para definir su modelo de funciones computables.

La respuesta anterior es correcta, pero hay un poco más que se puede decir sobre alfabetos infinitos y computabilidad.

Una máquina de Turing se describe en WP como en la que todos los conjuntos son finitos. Por lo tanto, la función de transición δ : Q / F × Γ → Q × Γ × { L , R } es necesariamente finita.$M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$

$$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$$

En una máquina de alfabeto infinito, reemplazaríamos el alfabeto de entrada por decir y así el alfabeto de cinta por y la función de transición por obedeciendo:$\Sigma$ Γ i n f δ i n $\Sigma^{inf}$$\Gamma^{inf}$$\delta^{inf}$

$$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$$

Entonces es necesariamente una función infinita. Como se señaló si esta función no es computable, entonces lo anterior no es representable finitamente. Supongamos que mantendremos (parcial) recursivo si es posible. La pregunta es si el alfabeto siempre lo permitirá. δ i n $\delta^{inf}$$\delta^{inf}$

La cuestión básica es que se presenta un alfabeto finito en su totalidad (por lo que podemos elegir definir nuestras funciones de forma recursiva), pero nunca se puede presentar un alfabeto infinito en su totalidad. Entonces, ¿qué mecanismo está generando el alfabeto?

La forma más sencilla de considerar esto es imaginar que hay un alfabeto "núcleo" finito, digamos . Luego genera un lenguaje . Supongamos que la cadena abaab . Luego defina . Entonces, el alfabeto infinito consiste en conjuntos de cadenas de concatenados en un solo símbolo como .$A=\{a,b\}$$L \subset A^*$ $\in L$$\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$$L$$<abaab>$

El alfabeto más simple es básicamente <1 *> , el lenguaje regular en el que se distinguen dos símbolos contando el número de trazos verticales en cada símbolo. Esto será computable con un analizador de estado finito (como un LBA, no como un autómata finito). Turing abogó por un alfabeto finito para evitar la aparición de una operación no finita en una operación TM. Sin embargo, vale la pena señalar que las 26 letras del alfabeto inglés no siguen este patrón de conteo: la letra z no contiene 26 trazos ni puntos ni nada. Así otros patrones son posibles con el modelo computacional más general que en base a una recursivamente numerable (re) lenguaje .$L$

$\delta^{inf}$$L$$L$$L$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$f$$f$$\delta^{inf}$

$L$

$<n>\in \Gamma^{inf}$$\phi_{n}(n)$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$\Delta_2^0$$\delta^{inf}$ No puede ser recursivo.

$S\in\Gamma^{inf}$$S$$f$$\Gamma^{inf}$