Condición necesaria y suficiente para un árbol de expansión mínimo único

Este es un problema de ejercicio (Ej. 3) de la excelente nota de lectura de Jeff Erickson Lectura 20: Árboles de expansión mínima [Fa'13] .

Probar que un gráfico ponderado por el borde $G$ tiene un árbol de expansión mínimo único si y solo si se cumplen las siguientes condiciones

Para cualquier partición de los vértices de $G$ en dos subconjuntos, el borde de peso mínimo con un punto final en cada subconjunto es único.

La ventaja de peso máximo en cualquier ciclo de $G$ es único.

Considera el " $\Rightarrow$ "dirección y el siguiente gráfico $G$ .

mst

$G$ tiene un MST único. Sin embargo, para la partición $\{A\}$ y $\{B,C\}$ , el borde de cruce de peso mínimo no es único.

¿Entendí mal algunos puntos? O si hay fallas en el teorema, ¿cómo podemos solucionarlo?

graph-theory spanning-trees

— hengxina
fuente

Sí, esto parece ser un error. Intenta averiguar qué versión del ejercicio es correcta. Por ejemplo, parece que la segunda condición es realmente necesaria.

— Yuval Filmus

A menos que no lo entienda bien, la segunda condición tampoco es necesaria. Considere la gráfica {(A, B, 1), (A, C, 1), (A, D, 1), (B, D, 10), (D, C, 10)}. También tiene un árbol de expansión mínimo compuesto por bordes conectados a A. Pero hay un ciclo con 2 bordes de peso máximo (y la primera condición tampoco se cumple). CC @YuvalFilmus

— babou

@jeffe, ¿qué te parece? ;)

— Luke Mathieson

Creo que el segundo debería estar en "en cualquier ciclo sin acordes " (por lo tanto, un ciclo mínimo en el sentido de que no incluye los más pequeños como subgrafías inducidas). La primera condición parece significativamente incorrecta. Por ejemplo, tome

G

$G$ ser cualquier árbol donde todos los pesos de borde sean

1

$1$ , entonces

G

$G$ tiene un MST único (sí mismo), pero cualquier partición con más de un borde que lo cruce tiene varios bordes de peso mínimo.

— Luke Mathieson

¡Uy! Sí, esto es un error. (Nota personal: cambie cada instancia de "Probar" a "Probar o refutar".)

— JeffE

Responda mi propia pregunta simplemente copiando el comentario hecho por @JeffE, el autor de la nota de conferencia:

¡Uy! Sí, esto es un error. (Nota para uno mismo: cambie cada instancia de "Probar" a "Probar o refutar"). - JeffE

— hengxina
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