Resolución de la relación de recurrencia

Quiero demostrar que la complejidad temporal de un algoritmo es poliglogarítmica en la escala de entrada.

La relación de recurrencia de este algoritmo es , donde . $T(2n) \leq T(n) + T(n^a)$ $a\in(0,1)$

Parece que para algunos depende de . Pero no puedo probar esta desigualdad. ¿Cómo resolver esta relación de recurrencia? $T(n) \leq \log^{\beta}{n}$ $\beta$ $a$

Solo quiero obtener un pollogarítmico de límite superior en n.

asymptotics recurrence-relation

— Qiang Li
fuente

a < 1

$a<1$ , supongo? Además, ¿revisó nuestra pregunta de referencia ? No creo que el caso específico que está preguntando esté explícitamente cubierto allí, pero se describen muchas técnicas.

— David Richerby

No hay un teorema "maestro" para este tipo que yo sepa; cf esta pregunta mía y esta . (cc @DavidRicherby)

— Raphael

Tu suposición está mal. De hecho, no es difícil demostrar que asumir $T(n) > 0$ para todos $n > 0$ , entonces $T(n) = \Omega(\log^k n)$ para todos $k$ . De hecho, para que esto suceda, necesitamos eso lo suficientemente grande $n$ nosotros tendriamos

(1 + a^{k}) \log^{k} n = \log^{k} n + \log^{k} n^{a} \geq \log^{k} (2 n),

$(1+a^k) \log^k n = \log^k n + \log^k n^a \geq \log^k (2n),$ o

\sqrt[k]{1 + a^{k}} \log n \geq \log n + \log 2

$\sqrt[k]{1+a^k} \log n \geq \log n + \log 2$ , que se mantiene siempre

[\sqrt[k]{1 + a^{k}} - 1] \log n \geq \log 2

$[\sqrt[k]{1+a^k}-1]\log n \geq \log 2$ , y en particular para lo suficientemente grande

n

$n$ .

¿Cuál es el orden correcto de crecimiento de $T(n)$ ? Para intentar averiguarlo, escribe $S(n) = T(2^n)$ . La recurrencia ahora se convierte en

S (n + 1) = S (n) + S (a n) .

$S(n+1) = S(n) + S(an).$ Para grande

n

$n$ , esperaríamos

S (n + 1) - S (n)

$S(n+1) - S(n)$ estar muy cerca de

S^{'} (n)

$S'(n)$ y heurísticamente esperaríamos que

S

$S$ satisfacer

S^{'} (n) = S (a n)

$S'(n) = S(an)$ . Esta ecuación parece un poco difícil de resolver, pero una solución aproximada es

S (n) = n^{Θ (\log n)}

$S(n) = n^{\Theta(\log n)}$ . Sustituyendo de nuevo, deducimos que el orden de crecimiento de

T (n)

$T(n)$ debería ser algo como

(\log n)^{Θ (\log \log n)}

$(\log n)^{\Theta(\log \log n)}$ .

— Yuval Filmus
fuente

Parece que

\log^{k} (2 n) = (\log 2 + \log n)^{k}

$\log^k(2n) = (\log 2 + \log n)^k$ . El límite inferior no se sostiene.

— Qiang Li

@ QiangLi Gracias por detectar el error. Sin embargo, el límite inferior se mantiene una vez que el argumento se modifica adecuadamente.

— Yuval Filmus