Facetas conocidas del politopo del problema del vendedor ambulante

Para el método de ramificación y corte, es esencial conocer muchas facetas de los politopos generados por el problema. Sin embargo, actualmente es uno de los problemas más difíciles calcular todas las facetas de dichos politopos a medida que crecen rápidamente.

Para un problema de optimización arbitrario, el politopo utilizado por los métodos de ramificación y corte o también por métodos de plano de corte es el casco convexo de todos los vértices factibles. Un vértice es una asignación de todas las variables del modelo. Como ejemplo (muy simple): si uno maximizara st y entonces los vértices , y son vértices factibles. viola la desigualdad y, por lo tanto, no es factible. El problema de optimización (combinatoria) sería elegir entre los vértices factibles. (En este caso, obviamente $2\cdot x+y$ $x+y \leq 1$ $0\leq x,y\leq 1.5$ $(0,0)$ $(0,1)$ $(1,0)$ $(1,1)$ $x+y\leq 1.5$ $(1,0)$ es lo óptimo). El casco convexo de estos vértices es el triángulo con exactamente estos tres vértices. Las facetas de este politopo simple son , y . Tenga en cuenta que la descripción a través de las facetas es más precisa que el modelo. En la mayoría de los problemas difíciles, como el TSP, el número de facetas supera el número de desigualdades del modelo en varios órdenes de magnitud. $x\geq0$ $y\geq 0$ $x+y\leq 1$

Teniendo en cuenta el problema del vendedor ambulante, para qué número de nodos se conoce completamente el politopo y cuántas facetas hay. si no está completo, ¿cuáles son los límites inferiores en el número de facetas?

Estoy particularmente interesado en la denominada formulación del camino hamiltoniano del TSP:

m i n \sum_{i = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{i - 1} c_{i, j} \cdot x_{i, j} + \sum_{j = i + 1}^{n - 1} c_{i, j} \cdot x_{i, j})

$min \sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}c_{i,j}\cdot x_{i,j})$ st

\forall i \neq j : 0 \leq x_{i, j} \leq 1

$\forall i \neq j:\ \ 0 \leq x_{i,j}\leq 1$

\forall i \neq j x_{i, j} + x_{j, i} \leq 1

$\forall i \neq j\ \ \ x_{i,j}+x_{j,i}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0}^{j - 1} x_{i, j} + \sum_{i = j + 1}^{n - 1} x_{i, j} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{i,j}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{i,j}\leq 1$

\forall j \sum_{i = 0}^{j - 1} x_{j, i} + \sum_{i = j + 1}^{n - 1} x_{j, i} \leq 1

$\forall j \ \ \sum_{i=0}^{j-1}x_{j,i}+\sum_{i=j+1}^{n-1}x_{j,i}\leq 1$

\sum_{i = 0}^{n - 1} (\sum_{j = 0}^{i - 1} x_{i, j} + \sum_{j = i + 1}^{n - 1} x_{i, j}) = n - 1

$\sum_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^{i-1}x_{i,j}+\sum_{j=i+1}^{n-1}x_{i,j})=n-1$

Si tiene información sobre los politopos de otras formulaciones del TSP, siéntase libre de compartirla también.

— stefan
fuente

Personalmente, no estoy seguro de lo que significa "politopos de un problema". Pero entonces, tengo pocos antecedentes en teoría de la complejidad.

— Raphael

En realidad no es la teoría de la complejidad (no fui yo etiquetando esta etiqueta). En realidad, todavía no hay una etiqueta adecuada para este tipo de preguntas. Una etiqueta adecuada sería el método de bifurcación y corte o plano de corte. Agregaré información sobre el politopo del que estoy hablando en breve

— stefan

@Raphael: He actualizado la pregunta, para que puedas leer algo sobre facetas y politopos.

— stefan

@stean: Ah, entonces es solo el espacio de soluciones factibles. En ese caso, la búsqueda de TSP es claramente exponencial en tamaño; de lo contrario, tuvimos P = NP hace mucho tiempo. Aún más, TSP generalmente se define en gráficos completos no dirigidos, por lo que hay exactamenteSoluciones factibles. Así que no veo qué más estás buscando; tal vez no obtengo un detalle importante de tu pregunta. ¿Tal vez que ha escrito el LP relajado, no la IP?

n!

$n!$

— Raphael

@Raphael es el casco convexo de soluciones factibles. tiene razón en que, a menos que P = NP, este casco convexo tendrá exponencialmente muchas facetas. sin embargo, el número de vértices no tiene nada que ver con eso: el casco convexo de los vectores binarios es el cubo booleano que tiene solo facetas. Además, tener exponencialmente muchas facetas tampoco significa que no haya un politopo de dimensiones superiores que se proyecte a la dada. por ejemplo, tome el casco convexo de los vectores base estándar, que tiene facetas, pero es la proyección de un pequeño programa lineal.

{0, 1}^{n}

$\{0, 1\}^n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

— Sasho Nikolov

Respuestas:

Para límites asintóticos, Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwari y de Wolf mostraron recientemente límites inferiores exponenciales en el número de facetas de cualquier politopo que se proyecta al politopo TSP (el politopo TSP, que es el casco convexo de soluciones TSP factibles). Esto es más fuerte de lo que pides e implica que incluso agregar variables adicionales no hará que el politopo TSP sea representable de manera eficiente.

Su artículo es un seguimiento del clásico de 1988 de Yannakakis, quien mostró el mismo resultado pero solo para politopos que satisfacen una cierta condición de simetría.

— Sasho Nikolov
fuente

¡Gracias por este enlace! Ciertamente es un resultado impresionante, a pesar de que hubiera sido extraño tener un buen politopio (= crecimiento no exponencial) para un problema de NP.

— stefan

lo sorprendente es poder probarlo :)

— Sasho Nikolov

@stefan afaik, un politopo en crecimiento polinómico para un problema de NP implicaría P = NP como afirma Rafael anteriormente ... ¿Alguien ha visto una declaración / discusión de lo que se requeriría para extender Fiorini et al a una prueba de P! = NP?

— vzn

la respuesta corta es que el resultado es sobre un modelo computacional más débil que las TM limitadas por polytime, y desea una versión para un modelo que sea tan fuerte como P. como evidencia de que las formulaciones extendidas son más débiles que P, Rothvoss recientemente demostró que el poliope coincidente tiene una complejidad de extensión exponencial; no obstante, las funciones lineales arbitrarias sobre el politopo coincidente se pueden resolver utilizando el algoritmo de Edmonds o el método elipsoide.

— Sasho Nikolov

más técnicamente, hay muchas razones por las cuales los resultados están lejos de P vs NP: los resultados son para una codificación fija de soluciones de problemas como vectores, y no descartan que una codificación más inteligente pueda permitir formulaciones de polisización; Además, los resultados dicen que para la codificación dada, cada LP compacto falla en alguna función objetivo, pero podría ser posible usar diferentes LP para diferentes funciones objetivas; finalmente, todavía no tenemos esencialmente límites inferiores explícitos contra los SDP, y luego está el método elipsoide que puede resolver LP de tamaño exponencial

— Sasho Nikolov

Hay una biblioteca llamada SMAPO (abreviatura de biblioteca de descripciones lineales de pequeñas instancias de problemas de POlytopes en optimización combinatoria) para muchos politopos incluyendo TVP simétrico y TSP gráfico.

Para el STSP, esta es la lista de la cantidad de facetas para politopos pequeños

 Nodes in STSP  |  # of facets
----------------+--------------
       6        |         100
       7        |        3437
       8        |      194187
       9        |    42104442
      10        | 51043900866

— stefan
fuente