Complejidad temporal de un bucle anidado triple

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Considere el siguiente bucle triple anidado:

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = i; j <= n; ++j)
        for (int k = j; k <= n; ++k)
            // statement

La declaración aquí se ejecuta exactamente veces ¿Podría alguien explicar cómo se obtuvo esta fórmula? Gracias. $n(n+1)(n+2)\over6$

algorithms time-complexity algorithm-analysis

— Xin
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La pregunta La fórmula de la complejidad del tiempo de los bucles anidados también podría ser de interés.

— Juho

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Puede contar la cantidad de veces que se ejecuta el bucle for más interno contando la cantidad de tripletes para los que se ejecuta. $(i,j,k)$

Por las condiciones del bucle sabemos que: $1 \leq i \leq j \leq k \leq n$ . Podemos reducirlo al siguiente problema de combinatoria simple.

Imagina $n+2$ cajas de color rojo colocadas en una matriz de izquierda a derecha.
Elige 3 cajas de cajas y píntalas de azul. $n+2$
Forme un triplete siguiente manera:
- $i$ = 1 + número de cuadros de color rojo a la izquierda del primer cuadro azul.
- $j$ = 1 + número de cuadros de color rojo a la izquierda del segundo cuadro azul.
- = 1 + número de cuadros de color rojo a la izquierda del tercer cuadro azul. $k$

Entonces, solo necesitamos contar el número de formas de elegir 3 cajas de cajas que es $n+2$ . $n+2 \choose 3$

— rizwanhudda
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¡Buena respuesta! Los valores exactos de i, j, k no son importantes. Solo necesitamos saber que cualquier caja azul se puede colocar en n posiciones posibles y que sus posiciones están delimitadas: el segundo siempre viene después del primero y antes del tercero.

— Dávid Natingga

@rizwanhudda Claro excepto por el

parte en

. ¿Puedes explicarlo por favor?

parece al número correcto.

+ 2

$+2$

n + 2

$n+2$

n + 3

$n+3$

— saadtaame

1

@saadtaame Sí. Puede imaginar tener

cuadros rojos, pero tener libertad para elegir 3 cuadros rojos para pintar de azul entre "

cuadros rojos", ya que no puede colorear el primer cuadro como azul (ya que

)

n + 3

$n+3$

n + 2

$n+2$

i \geq 1

$i \geq 1$

— rizwanhudda

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para mí, es más fácil notar que el bucle interno se ejecuta veces y el número total de ejecuciones en el bucle interno es $n-i$

$(n-i)+(n-i-1)+(n-i-2)+\ldots+1$

esto se puede reescribir como y se ejecuta veces, por lo que el número total de ejecuciones es $\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j$ $n$

\sum_{yo = 0 0}^{norte} \sum_{j = 0 0}^{norte - yo} norte - yo - j = \frac{norte (norte + 1) (norte + 2)}{6 6}

$\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{n-i} n-i-j=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

— andy mcevoy
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Un desafío para ti: imagina que tienes un ciclo x-anidado. Según la respuesta anterior, se ejecutaría (n + x-1) elegir x veces. ¿Cómo calcularías tu fórmula?

— Dávid Natingga

¡afortunadamente el OP no pidió x-nested! ¿Cómo se expande la otra respuesta dada a un ciclo anidado x? Mi respuesta debería obtener más sumas yendo de 0 a n, 0 a n-i_1, 0 a n-i_2, ..., 0 a n-i_x. Pero no sabría cómo calcular eso.

— Andy mcevoy

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La respuesta no se expande explícitamente para una x general, pero el proceso de razonamiento presentado es fácil de seguir para los bucles anidados en x. Simplemente agrega más cuadros azules. Tampoco sé cómo calcularía esas sumas más.

— Dávid Natingga