La correspondencia original de Curry-Howard es un isomorfismo entre la lógica proposicional intuicionista y el cálculo lambda de tipo simple.
Existen, por supuesto, otros isomorfismos similares a Curry-Howard; Phil Wadler señaló que el nombre de dos cañones "Curry-Howard" predice otros nombres de dos cañones como "Hindley-Milner" y "Girard-Reynolds". Sería divertido si "Martin-Löf" fuera uno de ellos, pero no lo es. Pero yo divago.
El combinador Y no contradice esto, por una razón clave: no se puede expresar en el cálculo lambda de tipo simple.
De hecho, ese era todo el punto. Haskell Curry descubrió el combinador de punto fijo en el cálculo lambda sin tipo, y lo usó para demostrar que el cálculo lambda sin tipo no es un sistema de deducción de sonido.
Curiosamente, el tipo de Y corresponde a una paradoja lógica que no es tan conocida como debería ser, llamada la paradoja de Curry. Considera esta oración:
Si esta oración es verdadera, entonces Santa Claus existe.
Supongamos que la oración fuera cierta. Entonces, claramente, Santa Claus existiría. Pero esto es precisamente lo que dice la oración, por lo que la oración es verdadera. Por lo tanto, Santa Claus existe. QED