Problema de suma de subconjuntos con muchas condiciones de divisibilidad

Sea $S$ un conjunto de números naturales. Consideramos $S$ bajo el orden parcial de divisibilidad, es decir, . Dejar$s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2$

$\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V$ una antichain .$\}$

Si consideramos el problema de la suma de subconjuntos donde el conjunto múltiple de números está en , ¿qué podemos decir acerca de la complejidad del problema relacionado con ? Es simple ver si , entonces el problema es fácil. Tenga en cuenta que es fácil incluso para el problema de la mochila más difícil cuando ^{\ dagger} .$S$$\alpha(S)$$\alpha(S)=1$$\alpha(S)=1$^$\dagger$

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$\dagger$ Resolviendo problemas de mochila secuenciales por M. Hartmann y T. Olmstead (1993)

Este problema se puede resolver en tiempo polinómico usando programación lineal, y esto es realmente cierto para cualquier orden parcial . Por cierto, podemos demostrar por inducción que para cualquier conjunto finito de orden parcial , existe un conjunto finito y una biyección , de modo que para todos .$(S,\le)$$(S,\le)$$S'\subseteq\mathbb{N}$$f:S\rightarrow S'$$s_1,s_2\in S, s_1\le s_2 \Leftrightarrow f(s_1) | f(s_2)$

Let el conjunto formado por las cadenas en . Recuerde que es una cadena iff para todos en , o$\mathcal{C}$$S$$C$$v,v'$$C$$v\le v'$$v'\le v$

Ahora crear una variable booleana para cada , y una variable booleana para cada cadena . Podemos escribir el siguiente programa lineal para nuestro problema: $x_v$$v\in S$$y_C$$C$$(P)$

$$\begin{split} \text{Max} \displaystyle\sum\limits_{v\in S} x_v \\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{v\in C} &x_v \le 1, \forall C\in\mathcal{C}\\ &x_v \in \{0,1\}, v\in S \end{split}$$

y su doble :$(D)$

$$\begin{split} \text{Min} \displaystyle\sum\limits_{C\in \mathcal{C}} y_C\\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{C:v\in C} &y_C \ge 1, \forall v\in S\\ &y_C \in \{0,1\}, C\in \mathcal{C} \end{split}$$

Entonces, el problema de encontrar la cobertura mínima de un conjunto ordenado por cadenas es el doble de nuestro problema. El teorema de Dilworth establece que

Existe un antichain A, y una partición del orden en una familia P de cadenas, de modo que el número de cadenas en la partición es igual a la cardinalidad de A

lo que significa que la solución óptima de estos dos problemas coincide:$Opt(P)=Opt(D)$

Sea ( resp. ) la relajación de ( resp. ), es decir, el mismo programa lineal donde todas las restricciones ( resp. ) se reemplazan por ( resp. ). Deje que y sean sus soluciones óptimas. Como tenemos: y dualidad débil El teorema establece que$(P^*)$ $(D^*)$$(P)$ $(D)$$x_v\in\{0,1\}$ $y_C\in\{0,1\}$$x_v\in [0,1]$ $y_C\in [0,1]$$Opt(P^*)$$Opt(D^*)$$\{0,1\}\subseteq [0,1]$

$$Opt(P)\le Opt(P^*) \text{ and } Opt(D^*)\le Opt(D)$$ $Opt(P^*)\le Opt(D^*)$luego al poner todo junto tenemos: $$Opt(P)= Opt(P^*)=Opt(D^*)=Opt(D)$$

Luego, usando el método Elipsoide , podemos calcular ( ) en tiempo polinómico. Hay un número exponencial de restricciones, pero existe un oráculo de separación de tiempo polinomial. De hecho, dada una solución , podemos enumerar todas las parejas y verificar si o , y, por lo tanto, decidir en tiempo polinómico si es factible o si la restricción asociada a la cadena se viola.$Opt(P^*)$$=Opt(P)$$X$$s_1,s_2\in X$$s_1\le s_2$$s_2\le s_1$$X$$\{v_1,v_2\}$