Prueba de que

Muestra esa $L=\{a^{n^2} | n \geq 0\}$ no es regular

Hola chicos. Estoy tomando una clase de CS y estas cosas son realmente nuevas para mí, así que tengan paciencia conmigo. Traté de mirar si obtengo alguna contradicción al usar el lema de bombeo para los idiomas normales y lo resolví así:

Suponer $L$es regular Entonces debe haber un número natural$m$ para todas las palabras $z$ en $L$ con longitud $|z| \geq m$ y existe una descomposición $z = uvw, |uv| \leq m, |v| > 0$, así que eso $u(v^i)w$ está en el idioma para cualquier $i \geq 0$.

Considera la cuerda $a^{m^2}$.

Entonces $uv = a^{k^2} = a^{x+y}$, para algunos $k \leq m$ y $x = (k-1)^2$.
Entonces$v = a^y = a^{2k-1}$.

Dejar $i = 2$. Entonces$u(v^2)w = a^{x+2y}$. Pero$\sqrt{x+2y}$no es necesariamente un número natural -> ¡Contradicción! Por lo tanto,$L$ No puede ser regular.

Bueno, sé que este camino es innecesariamente complicado y puedes probarlo de manera diferente (ya conozco la solución más simple). Pero mi pregunta aquí es: ¿es válida también mi prueba o contiene algún defecto? ¿Es formalmente correcto?

Agradezco cualquier comentario! ¡Gracias!

No puedes deducir eso $uv = a^{k^2}$, todo lo que te da el lema de bombeo es que $|uv| \leq m$. No todos los números son menores que$m$son cuadrados No solo eso, sino incluso suponiendo que$uv = a^{k^2}$, no hay razón para suponer que $v = a^{2k-1}$; todo lo que el lema de bombeo te da es que$v$No está vacío. Finalmente, para obtener una contradicción, no es suficiente que$x + 2y$ no necesita ser un cuadrado, no debe ser un cuadrado! Ya que$x$ y $x+y$ son cuadrados adyacentes, en realidad es el caso de que $x + 2y$ No es un cuadrado.