¿Son los crucigramas regex NP-hard?

Estaba jugando el otro día en este sitio web: http://regexcrossword.com/ y me pregunté cuál era la mejor manera de resolverlo.

¿Puedes resolver el siguiente problema en tiempo polinómico o es NP-hard?

Dada una cuadrícula NxM con N expresiones regulares para las columnas y M para las filas, encuentre cualquier solución a la cuadrícula de modo que se satisfagan todas las expresiones regulares, o diga que no existe una solución.

El problema es NP-hard.

Mostramos esto reduciendo la cubierta del vértice:

Dado un gráfico y un umbral k , ¿hay un subconjunto V ′ ⊆ V de cardinalidad como máximo k , de modo que cada borde en E incide en al menos un nodo en V ′ ?$G=(V,E)$$k$$V' \subseteq V$$k$$E$$V'$

Traducimos esto en un crucigrama regex con columnas y | V | filas de la siguiente manera:$|E|+1$$|V|$

Todas las columnas, excepto la primera, corresponden a un borde. Obtienen una expresión regular .$0^*1(0|1)^*$

Todas las filas corresponden a un vértice. Obtienen una expresión regular que les permite escribir

• un en la primera columna y cada columna correspondiente a un borde incidente a ese nodo y ceros en todas las otras columnas, o$1$

• $0^*$

Finalmente, la primera columna cuenta el tamaño de la cubierta del vértice. Obtiene una expresión regular, que permite a lo sumo más.$k$

La correspondencia entre las soluciones al crucigrama regex y las cubiertas de vértice debería ser obvia.

Ejemplo:

Encuentre una cubierta de vértice de tamaño 2 para el siguiente gráfico:

$V_A = 0^* \big| 10110$

$V_B = 0^* \big| 11101$

$V_C = 0^* \big| 10011$

$V_D = 0^* \big| 11000$

$Counter = 0^* \big| 0^*10^* \big| 0^*10^*10^*$

$E_1 = 0^*1(0|1)^*$

$E_2 = 0^*1(0|1)^*$

$E_3 = 0^*1(0|1)^*$

$E_4 = 0^*1(0|1)^*$

$V_A$$V_D$$Counter$$E_1$$E_4$

$V_A,V_B$$V_C,V_B$

$Counter$$0^* \big| 0^*10^*$

La pregunta sigue siendo NP completa incluso cuando todas las expresiones regulares son iguales. http://arxiv.org/abs/1411.5437