Complejidad de un algoritmo ingenuo para encontrar la subcadena de Fibonacci más larga

Dados dos símbolos y , definamos la -ésima cadena de Fibonacci de la siguiente manera: $\text{a}$ $\text{b}$ $k$

F (k) = {\begin{cases} b & if k = 0 \\ a & if k = 1 \\ F (k - 1) ⋆ F (k - 2) & else \end{cases}

$F(k) = \begin{cases} \text{b} &\mbox{if } k = 0 \\ \text{a} &\mbox{if } k = 1 \\ F(k-1) \star F(k-2) &\mbox{else} \end{cases}$

con denotando concatenación de cadenas. $\star$

Así tendremos:

$F(0) = \text{b}$
$F(1) = \text{a}$
$F(2) = F(1) \star F(0) = \text{ab}$
$F(3) = F(2) \star F(1) = \text{aba}$
$F(4) = F(3) \star F(2) = \text{abaab}$
...

Dada una cadena formada por símbolos, definimos una subcadena de Fibonacci como cualquier subcadena de que también es una cadena de Fibonacci para una elección adecuada de y . $S$ $n$ $S$ $\text{a}$ $\text{b}$

El problema

Dado , queremos encontrar su subcadena de Fibonacci más larga. $S$

Un algoritmo trivial

Para cada posición de la cadena , suponga que comienza allí (es suficiente para verificar que los símbolos -th e -th son distintos). Si ese es el caso, verifique si se puede extender a , luego a , y así sucesivamente. Después de eso, comience nuevamente desde la posición . Repita hasta llegar a la posición . $i$ $S$ $F(2)$ $i$ $(i+1)$ $F(3)$ $F(4)$ $i+1$ $n$

Debemos mirar cada símbolo al menos una vez, por lo que es . Solo hay dos para los bucles involucrados, por lo que además podemos decir que es . $\Omega(n)$ $O(n^2)$

Sin embargo (como era de esperar), este ingenuo algoritmo funciona mucho mejor que los algoritmos cuadráticos habituales (si hace mucho trabajo en la posición -ésima, no hará mucho trabajo en las siguientes posiciones). $i$

¿Cómo puedo usar las propiedades de Fibonacci para encontrar límites más ajustados para el tiempo de ejecución de este algoritmo?

— wil93
fuente

Digamos que ocurre en alguna posición si la subcadena que comienza en esa posición es compatible con o su complementación. ¿Qué tan cerca pueden estar las ocurrencias de ? Tome como ejemplo . Si ocurre en la posición entonces no puede ocurrir en la posición o $F(n)$ $F(n)$ $F(n)$ $F(4) = abaab$ $F(4)$ $p$ $p+1$ $p+2$ , pero puede aparecer en la posición . Dejamos que sea el número más pequeño, de modo que dos ocurrencias de pueden ocurrir a una distancia de . Puede probar por inducción que para tenemos (por ejemplo, ). $p+3$ $\ell(n)$ $F(\ell)$ $\ell$ $n \geq 4$ $\ell(n) = |F(n-1)|$ $\ell(4) = 3$

Dada una cadena de longitud , para cada sea el conjunto de posiciones en las que se produce . Podemos limitar el tiempo de ejecución de su procedimiento aproximadamente por , donde la suma se ejecuta sobre todos tal que (decir). Como ocurrencias de $N$ $n$ $P(n)$ $F(n)$ $\sum_n |P(n)| |F(n)|$ $n$ $|F(n-1)| \leq N$ están separados por al menos, vemos que el tiempo de ejecución está limitado por el orden de $F(n)$ $|F(n-1)|$ Como las longitudes de las palabras de Fibonacci aumentan exponencialmente,. El término restante es, ya que la suma contienemuchos términos. Concluimos que el tiempo de ejecución es

\sum_{n} | F (n) | (\frac{N}{| F (n - 1) |} + 1) .

$\sum_n |F(n)| \left(\frac{N}{|F(n-1)|} + 1\right).$

\sum_{n} | F (n) | = O (N)

$\sum_n |F(n)| = O(N)$

\sum_{n} O (N) = O (N \log N)

$\sum_n O(N) = O(N\log N)$

\log N

$\log N$

O (N \log N)

$O(N\log N)$

Por el contrario, el tiempo de ejecución en es , como puede probarse por inducción. Llegamos a la conclusión de que el peor tiempo de ejecución en cadenas de longitud es . $F_n$ $\Omega(|F_n|\log|F_n|)$ $N$ $\Theta(N\log N)$

— Yuval Filmus
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