Un álgebra como entrada a un algoritmo

Quiero especificar qué significa dar un álgebra como entrada a un algoritmo y no encontré mucha literatura al respecto. Primero, quiero preguntar si puede recomendar un libro o documento que aborde el tema del análisis de complejidad de álgebras sobre campos y defina claramente el problema de decisión .

Después de investigar un poco, encontré algo y quiero compartirlo aquí y, además, preguntar si las definiciones tienen sentido y si cumplen con la literatura (si hay alguna):

Definición: Let sea un campo y ser conmutativo finito generado -algebra con aditivo de base . Ahora queremos capturar la estructura multiplicativa del álgebra y, por lo tanto, escribir cada producto de los elementos básicos como una combinación lineal de todos los elementos básicos: Los se denominan coeficientes de estructura . Tenemos eso directamente: $\mathbb F$$A$$\mathbb F$$b_1,\ldots, b_n\in\mathbb F$

$$\forall 1\leq i, j, k\leq n: \exists a_{ijk}: b_ib_j=\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k.$$ $a_{ijk}$ $$A \cong \left.\mathbb{F}[b_1, \ldots, b_n] \middle/ \left<b_i b_j-\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k\right>_{1\leq i,j\leq n}\right..$$ Ahora se puede definir el siguiente problema de decisión: Para especificar un isomorfismo es suficiente para escribir todos los como combinación lineal de los elementos de una base de . $$\{(A,B)\mid A, B \text{ commutative $\mathbb F$-algebras with basis $b_1, \ldots b_n$ and } A\cong B\}.$$ $\phi:A\rightarrow B$$\phi(b_i)$$B$

¿Le parece extraño algo en esta definición o cree que se puede trabajar con él?

Motivación: Mi motivación detrás de esto es dar una definición muy clara del problema de decisión primero para conectarlo con otros problemas, es decir, el problema de decidir la equivalencia polinómica: Dados dos polinomios , decimos que es equivalente a si existe una transformación lineal invertible en las variables tales que . En otras palabras, dos polinomios son equivalentes si puede reemplazar cada variable por una combinación lineal de todas las variables para obtener el otro polinomio.$f,g\in\mathbb F[x_1, \ldots, x_n]$$f$$g$$\tau$$f(\tau(x_1), \ldots, \tau(x_n))=g(x_1, \ldots, x_n)$

No estoy seguro de si esto ayuda como motivación, pero la conexión de estos problemas se establece construyendo álgebras conmutativas generadas finitamente a partir de los dos polinomios que son isomórficos si y solo si los polinomios son equivalentes. Para esto quería asegurarme de que el problema de decisión se define muy claramente.$\mathbb F$

Esto parece ser consistente con la presentación en Equivalencia de -algebras y formas cúbicas$\mathbb{F}$ , Agrawal y Saxena (2006) .

La computabilidad sobre la estructura matemática es un área de investigación larga y bien establecida. Por ejemplo, ver:

• Edward R. Griffor, " Manual de teoría de la computabilidad ", 1999

• Leonidovich Ershov, " Manual de Matemáticas Recursivas: Álgebra Recursiva, Análisis y Combinatoria ", 1998

o google para:

• álgebra de computabilidad
• teoría del modelo computable