¿Existe alguna conexión entre el problema de detención y la entropía termodinámica?


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Alan Turing propuso un modelo para una máquina (Turing Machine, TM) que computa (números, funciones, etc.) y demostró el Teorema de detención .

Un TM es un concepto abstracto de una máquina (o motor si lo desea). El teorema de detención es un resultado imposible. Un Carnot Engine (CE) es un concepto abstracto de un motor térmico y Carnot demostró el Teorema de Carnot , otro resultado de imposibilidad relacionado con la entropía termodinámica.

Dado que un TM es físicamente realizable (al menos tanto como un CE, ¿o tal vez no?) ¿Existe un mapeo o representación o "isomorfismo" de TM o CE que podría permitir unificar estos resultados y además conectarse a la entropía?

Por supuesto, existen formulaciones de TM y el Teorema de detención en términos de teoría de información algorítmica (por ejemplo, Chaitin, Kolmogorov, etc.) y entropía (en ese contexto). La pregunta pide el concepto más físico de entropía (si en el proceso de una respuesta potencial surge la entropía algorítmica, está bien, pero no es lo que la pregunta pregunta exactamente).

También se puede consultar otra pregunta en física.se que relaciona la incertidumbre cuántica con la segunda ley de la termodinámica. Ver también: una caracterización algebraica de la entropía , una caracterización algorítmica de la entropía , una revisión y conexiones entre varias formulaciones de entropía


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Hay un sentido en el que los conceptos delineados son exactamente opuestos . Las leyes teorodinámicas sobre el aumento de entropía descartan una máquina de movimiento perpetuo . Una máquina que no daña es una máquina de movimiento perpetuo .
vzn

sí, ya veo, volver a lanzar la condición de no detenerse como un móvil perpetuo (¿del segundo tipo?), esto es exactamente en el espíritu de la pregunta, pero ¿es esto lo que dice el teorema de la detención? Dice que no sabemos si se detiene o no, debido a la "circularidad", agradable
Nikos M.

¿Una propuesta para agregar "termodinámica" y / o "computación termodinámica" como nuevas etiquetas en CS.se? No estoy seguro de poder hacerlo solo (probablemente), pero escuchemos otras opiniones
Nikos M.

Respuestas:


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No soy en absoluto un experto en esta área, pero creo que va a estar interesado en la computación reversible . Esto implica, entre otras cosas, el estudio de la relación entre procesos que son físicamente reversibles y procesos que son lógicamente reversibles. Creo que sería justo decir que los "fundadores" del campo fueron / son Ralph Landauer y Charles H Bennett (creo que ambos investigadores de IBM).

Toca la computación cuántica y la teoría de la información cuántica, pero también examina preguntas como "¿cuáles son los límites de la computación en términos de tiempo, espacio y energía?" Se sabe (si no recuerdo mal) que puede hacer que la energía requerida para realizar un cálculo reversible sea arbitrariamente pequeña haciendo que tome un tiempo arbitrariamente largo. Es decir, la energía tiempo (= acción ) requerida para realizar un cálculo reversible se puede convertir en una constante. Este no es el caso de los cálculos no reversibles.×

Muchas de las personas que estudian en esta área también están trabajando en computación cuántica y física digital (la idea de que el universo es un gran autómata celular cuántico). Los nombres de los investigadores que me vienen a la mente son Ed Fredkin , Tommaso Toffoli y Norm Margolus .

Estas preguntas son absolutamente sobre el tema de la informática. No solo para la teoría (que incluye matemática y física), sino también para los ingenieros que desean conocer los límites finales de la computación. ¿Se requiere un volumen mínimo o energía para almacenar un poco de información? La acción requerida para realizar un cálculo reversible puede ser constante, pero ¿hay límites en lo que es esa constante? Estos son conocimientos críticos para los ingenieros que intentan superar los límites de lo que es posible.


Sí, existe una relación con la Termodinámica de la Computación (Bennett, Landauer et al.), Pero preguntando más en relación con el Teorema de detención y / o el mapeo entre TM y CE (como en cuestión), pero buena respuesta
Nikos M.

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Ah, tienes razon. Estoy rechazando mi respuesta. Los comentarios bajo su pregunta que decían que estaba fuera de tema me hicieron ver rojo, y estaba respondiendo principalmente a eso. En respuesta a su pregunta real: mire la Tesis de Church-Turing. Suponiendo que crees eso y también que las matemáticas pueden modelar cualquier cosa en la naturaleza, entonces el Problema de detención es un teorema de imposibilidad física.
Wandering Logic

Creo que la tesis de Church-Turing de que el cálculo físico es efectivo puede ser realmente necesario, eche un vistazo a este artículo también
Nikos M.

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No estoy familiarizado con el Teorema de Carnot, excepto lo que acabo de leer en Wikipedia, pero incluso desde esa introducción superficial, hay una conexión en la estructura de las pruebas, y eso puede ser interesante para usted, ya que es una técnica de prueba eso es aplicable en muchos dominios.

Ambas son pruebas por contradicción para demostrar que nada en una clase dada tiene alguna propiedad, supones que alguna instancia realmente tiene esa propiedad, y luego demuestras que sigue una contradicción.

El problema de detención es interesante porque la contradicción surge de cierta interacción propia con respecto a la instancia particular (que es una máquina M que puede determinar si una máquina arbitraria se detendrá con una entrada dada). En particular, construye una nueva máquina que incluye M como componente y luego alimenta la nueva máquina a M.

Alguien con más conocimiento sobre el Teorema de Carnot podría explicarlo (para lo cual no estoy calificado), pero parece que la contradicción surge del tipo de motor térmico que podría construir si tuviera una instancia con la propiedad en cuestión.

Entonces, ambos casos involucran la construcción de:

  • Supongamos que alguna X tiene la propiedad P.
    • Desde X, compila Y relacionado.
    • Las relaciones entre X e Y son contradictorias.
  • Por lo tanto, ninguna X tiene la propiedad P.

Sin embargo, parece haber una diferencia, ya que la contradicción en el caso del Teorema de detención es una contradicción lógica pura y sería contradictoria en cualquier contexto de lógica clásica. El teorema de Carnot, según tengo entendido, solo es contradictorio con respecto a la segunda ley de la termodinámica. Desde una perspectiva lógica, ese es un axioma, por lo que si tomas una axiomatización diferente en la que no se cumple la segunda ley de la termodinámica, el teorema de Carnot no sería un teorema, porque la contradicción no existiría. (Lo que sería una formalización de la termodinámica sin la segunda ley es el tipo de pregunta que llevó a los geómetras a la geometría no euclidiana).


Este documento proporciona mucho en la dirección que menciona, en mi opinión. También lo que creo que es muy relevante es la circularidad (o diagonalización) de los argumentos. Existen instrucciones de investigación que conectan transformaciones lógicas irreversibles con procesos termodinámicos irreversibles (por ejemplo, el Principio de Landauers y sus objeciones). Hay objeciones a algunas declaraciones de la 2da Ley, pero uno puede encontrar formulaciones que aún se mantienen (por ejemplo, el trabajo de Prigogine)
Nikos M.

Para ver cómo podría surgir esta conexión, vea también los comentarios sobre la respuesta anterior (solo para fines de plausibilidad)
Nikos M.

Con respecto a otras formulaciones de la segunda ley (aún más general y para procesos de no equilibrio), puede consultar la declaración de Caratheodory en términos de espacio de fase y geometría, el trabajo de Prigogin en sistemas de no equilibrio y la formulación de Hatzopoulos-Gyftopoulos-Beretta (con conexiones adicionales a mecánica cuántica)
Nikos M.

En un sentido hay tantas facetas de la entropía, ya que hay facetas del teorema (s) de Goedel (como en el teorema de detención de Turing, el teorema indefinibilidad de Tarski , el teorema de Rosser , teorema de incompletitud de Chaitin ), hay incluso una prueba de categoría-teórico de un "general Teorema de Goedel "que abarca todos los anteriores que se basa en puntos fijos
Nikos M.

Incluso si se logra una conexión entre el problema de detención y la entropía termodinámica en forma de si y cuando la Ley 2MD se cumple entonces ... , sigue siendo tan rápido como esta pregunta (relacionada con la objeción de que la Ley 2 podría ser como la Quinto postulado sobre paralelos en geometría euclidiana)
Nikos M.

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IANAPhysicist pero no veo ninguna conexión. Las máquinas de Turing son objetos de matemática pura y la indecidibilidad del problema de detención es independiente de cualquier realización física de cualquier cosa.


Los resultados de la segunda ley de imposibilidad tienen mucho en común con los problemas de lógica (matemática) y circularidades, ¿tal vez una conexión allí?
Nikos M.

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Tendría que dar más detalles: como dije, no soy físico. Pero no veo cómo las leyes físicas pueden tener algún impacto en una construcción que existe independientemente de la realidad física.
David Richerby

tiene un punto allí, puedo dar muchas razones epistemológicas por las cuales esto es muy plausible (por ejemplo, las matemáticas que sí dependemos del mundo en que vivimos , a-la Einstein), pero quiero algo más allá de eso, si tuviera una respuesta lista. probablemente publicaría un artículo :)
Nikos M.

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@vzn Usamos la palabra "tiempo" para la cantidad de pasos que ha ejecutado la máquina y "espacio" para la cantidad de celdas de cinta que ha utilizado, pero esas palabras fueron elegidas para atraer a nuestra intuición física como seres físicos. Pero el "tiempo" es solo un índice en una secuencia de configuraciones y el espacio es solo un índice en una secuencia de símbolos. Por ejemplo, considere una máquina de Turing donde la cabeza simplemente gira hacia la derecha. Utiliza el "tiempo" infinito y el "espacio" infinito, pero puedes descubrirlo en una cantidad finita de tiempo real y espacio real
David Richerby

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Claro, pero el hecho de que consideremos que las máquinas de Turing son objetos interesantes puede tener algo que ver con la física.
Gilles 'SO- deja de ser malvado'

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Esta diversa pregunta de múltiples temas no tiene una respuesta simple / fácil y toca áreas activas de la investigación de TCS. Sin embargo, es una pregunta rara sobre un vínculo entre física y TCS que me ha interesado a lo largo de los años. Hay algunas direcciones diferentes para seguir en esto. La respuesta básica es que es una "pregunta abierta", pero con algunas investigaciones activas / modernas que la abordan e insinúan conexiones.

  • Hay algunos problemas sorprendentes / profundos indecidibles de la física avanzada. por ejemplo de sistemas dinámicos. sin embargo, no he visto esto conectado a la entropía per se, pero la entropía está asociada con todos los sistemas físicos (por ejemplo, uno puede ver esto en la teoría química), por lo que debe haber al menos un enlace indirecto.

  • la entropía de hecho aparece en CS pero más en forma de teoría de la información y teoría de codificación. El nacimiento de la teoría de la codificación implicó la definición / análisis de entropía asociada con los códigos de comunicación de Shannon. prueba esta gran referencia en línea Teoría de la entropía e información de Gray

  • la entropía también se asocia a veces con la medición de la aleatoriedad en PRNG. existe una conexión de separaciones de clase de complejidad (p. ej., P =? NP) a PRNG en el famoso documento "Natural Proofs" de Razborov / Rudich. Hay una investigación continua sobre este tema.

  • Usted menciona la termodinámica y su conexión con TCS. Existe una profunda conexión entre la magnetización en los vidrios giratorios en física y los problemas completos de NP estudiados en el punto de transición SAT. allí (nuevamente) el sistema físico tiene una entropía asociada, pero probablemente se ha estudiado más en un contexto de física que en un contexto de TCS.


puede ampliar algo de esto en detalle en Computer Science Chat
vzn

ver también CS defn de entropy stackoverflow
vzn

Es interesante poder pensar "fuera de la caja" (al menos a veces), ¿ha estudiado el trabajo de Bennet sobre termodinámica de la computación? La motivación detrás de la pregunta es mostrar si el teorema de detención puede verse como una consecuencia de la termodinámica (con algún modelo o representación apropiada al menos para algunos casos). Creo que sería realmente interesante si esto pudiera resolverse de cualquier manera
Nikos M.


La mayoría de los conceptos de "entropía" tal como se usan en informática se relacionan con la teoría de la información de Shannon o con la teoría de la información algorítmica de Kolmogorov / Chaitin / Solomonov, esto ya se menciona en la pregunta y es muy importante. Las únicas conexiones con la entropía termodinámica que conozco (que pueden estar relacionadas con la entropía inf.) Es la termodinámica de la computación. La pregunta está relacionada con la termodinámica de la computación, pero de otra manera
Nikos M.

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Hay un problema de pensamiento simple que a veces se usa como una introducción a los paradigmas informáticos no convencionales:

Tiene dos bombillas y sus respectivos interruptores de encendido y apagado. Alguien abre y cierra ambas luces una tras otra. ¿Cómo se determina cuál se cerró primero y cuál se cerró al final? Determine la cantidad mínima de veces que necesitará abrir las luces para decidir este problema.

La mayoría de los informáticos generalmente intentan encontrar alguna solución booleana basada en la lógica. La respuesta es (al menos una de ellas): tocando las bombillas y viendo cuál está más caliente.

Los paradigmas basados ​​en el calor existen en la informática: el recocido simulado es un algoritmo conocido (la computadora cuántica de ondas D es la contraparte cuántica del algoritmo).

¿Ahora hay una relación con el problema de detención?

El trabajo clásico de Chaitin y Calude sobre el problema de detención a través del concepto de números Omega se puede vincular a la formulación probabilística del problema de detención. Es el tratado más reciente sobre el problema en el que puedo pensar ... y no hay una relación clara con la entropía (termodinámica). Ahora, si la entropía de la información (en el sentido de Shannon) es buena para usted, el número Omega codifica de la manera más sucinta el problema de Detención, en el sentido de un límite de Shannon.

En resumen, un número Omega es la probabilidad de que un programa aleatorio se detenga. Conocer la constante permitiría la enumeración de todas las declaraciones matemáticas válidas (verdades, axiomas, etc.) y es indiscutible. Calude calculó una versión de Omega cambiando la medida de probabilidad uniforme con una medida inversamente proporcional a la longitud de un programa aleatorio y utilizando codificaciones sin prefijo, por lo que podríamos hablar de Omega de Chaitin y Omega de Calude.


Buena respuesta, la parte relacionada con el calor de las bombillas se usa muchas veces como el enlace entre la entropía de la información y la entropía termodinámica (es un sentido contrario a la visión de Jaynes como incertidumbre subjetiva). mi propia línea de pensamiento sería basar el razonamiento en la circularidad de ambas construcciones y mediante una cascada (¿inteligente?) una con la otra crear una implicación (al menos de una manera)
Nikos M.

Se usa un razonamiento similar con las baterías (en lugar de las bombillas) para determinar qué baterías están descargadas ...
Nikos M.

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¡Sí !, curiosamente he pensado en esto ... Aquí está la idea:

Primer paso

Modele el demonio de Maxwell como un programa de computadora. Entonces, ¿cómo Demon llegó a conocer la velocidad y la posición de las partículas antes de abrir la puerta para la selección?

Supongamos que el demonio no puede medir la velocidad a la que las partículas golpean la puerta, ¿por qué? porque eso cambiaría la velocidad de las partículas, por lo que el demonio tiene que descubrirlo antes de abrirlo, sin mirar, sin medir. Para ser justos, le haremos saber al demonio las reglas del juego de antemano, es decir, alimentar al demonio con leyes de movimiento, interacciones de partículas y condiciones iniciales, suficiente del modelo físico / dinámico.

Segundo paso

Ahora modele el gas de partículas también como un programa de computadora que ejecuta el mismo código dado al demonio para cada partícula, por lo que el gas está calculando un resultado de sus condiciones iniciales, el Demon no sabe ese resultado hasta que se detenga (si alguna vez ): a saber, "una partícula con la velocidad correcta está en la puerta", la decisión de sí / no que le hacemos al sistema es "¿Tiene una partícula la posición correcta y la velocidad suficiente?", de ser así, la puerta podría abrirse y la partícula rápida puede entrar en el lado de alta temperatura de la habitación estableciendo nuevas condiciones iniciales (¿esos problemas consecutivos tienen una respuesta o se ejecutarán para siempre?)

Habrá un momento en que no haya partículas con la velocidad suficiente para cruzar el límite, por lo que habrá un momento en que el código se ejecutará para siempre (no se detenga) en casi cualquier umbral dado.

Demon quiere saber el resultado que calcula el gas, pero el resultado está potencialmente involucrado en el código fuente de las leyes de la partícula más las condiciones iniciales ... por supuesto, necesitamos ejecutar ese programa para saberlo. Si Demon ejecuta el mismo programa esperando la velocidad correcta en la salida, el programa podría detenerse o podría ejecutarse para siempre (pero suponemos que ese demonio no tiene más poder computacional que el gas, por lo que no podrá decidir el puerta abierta a tiempo).

Daemon podría intentar averiguar la salida del programa (o si se detendrá) observando la fuente y las entradas sin ejecutarlo, pero es como tratar de resolver el problema de detención, ¿por qué? porque Demon no sabe qué leyes y condición inicial se alimentarán, por lo que debe estar preparado para resolver cualquier conjunto de leyes y condiciones iniciales, y sabemos que no es posible en general, necesitará un oráculo, si pudiera bastará para construir un demonio para generar energía de la nada (incluso conociendo las leyes y la condición inicial, ambas cosas ya son lo suficientemente difíciles de saber)

Este experimento mental puede vincular cómo una reducción en la entropía, por medio de las computadoras, podría de alguna manera estar limitada por Halting Problem , como un problema para anticipar en general los resultados.

(En algún momento todos los límites parecen ser el mismo límite ..)

Más acerca de las leyes de partículas

Las leyes de partículas no son el tema principal de este experimento mental, esas leyes podrían ser cuánticas o clásicas, pero debemos tener en cuenta el hecho de la complejidad de las leyes y las condiciones iniciales, la complejidad de la disposición de las partículas no está limitada, y podría tienen mucha complejidad adicional (en un ejemplo extremo de condiciones iniciales, incluso podría insertar una computadora completa disparando partículas de acuerdo con un código fuente interno y darle ese código al demonio).


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No entiendo el enlace al problema de detención. Primero, parece haber redefinido lo que significa que una máquina se detenga. En segundo lugar, solo parece tener un programa (el simulador de partículas de gas). Es perfectamente posible demostrar que un programa fijo se detiene o no, sin violar la indecidibilidad del problema general de detención.
David Richerby

Acerca de detener, no redefinió la detención, aquí el programa se detiene, como siempre, cuando el programa finaliza la computación y obtiene una salida, por lo que aquí la salida se define como el momento exacto en que una partícula con la velocidad correcta golpea la puerta , y podría construir una puerta que lo detecte, de modo que marcará cuándo se detiene el programa (luego el programa se ejecuta nuevamente desde estas condiciones iniciales para otra salida). Daemon quiere saber cuándo se detendrá, pero no puede saber si se detendrá.
Hernan_eche

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Las máquinas de Turing no pueden decidir el problema de detención de las máquinas de Turing. Parece que ha redefinido el problema de detención como "¿Alguna de estas moléculas de gas hace X alguna vez?", Que es un problema completamente diferente de "¿Se detiene esta máquina de Turing cuando se inicia con esta entrada?" La prueba de Turing de la indecidibilidad del problema de detención de la máquina de Turing no dice nada acerca de si una máquina de Turing podría calcular si alguna molécula de gas alguna vez hará X.
David Richerby

El comentario de David es correcto, ya que no está relacionado directamente con el problema de detención. Sin embargo, es un argumento que sigue el espíritu de la pregunta
Nikos M.

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@Gilles, gracias por señalar eso, estoy de acuerdo con eso, si es necesario se creará un chat. Sin embargo, preferiría que se dejaran estos comentarios, ya que se relacionan tanto con la pregunta como con la respuesta específica (según evolucionó)
Nikos M.

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Pregunta realmente cautivadora, y veremos que su pensamiento ES correcto .

Primero veamos qué dice el segundo principio de la termodinámica.

La función de entropía se usa en la segunda ley de la termodinámica. Se deriva del teorema de Carnot que establece que los procesos que tienen lugar en máquinas de vapor tienen una eficiencia menor o, en el mejor de los casos, igual a la máquina "reversible" correspondiente (que por cierto parece un concepto inestable durante los 150 años de termodinámica). Carnot no acuñó la función de entropía, pero junto con Clausius esto es lo que dicen:

Como no hay una máquina perpetua, entonces podemos construir una función S llamada entropía que restringe las medidas termodinámicas macroscópicas en una determinada ecuación, a saber, S (V, T, P, etc.) = 0

Tenga en cuenta que esta ecuación no es más que la ecuación de una hiper-superficie en el espacio de medidas termodinámicas.

Entra en Carathéodory.

Carathéodory es un matemático alemán y, como todos los matemáticos, quiere extraer de Carnot y Clausius razonando algunos axiomas que le permitirían aclarar de qué se trata realmente la segunda ley . Dicho sin rodeos, quiere purificar la termodinámica para saber exactamente qué es la entropía.

Después de enumerar una cierta cantidad de axiomas, logra formular SU segunda ley, que dice (más o menos):

Hay algunos procesos adiabáticos. O más prosaicamente, si quieres regresar, a veces trabajar solo no es suficiente. Necesitas un poco de calor.

¡Ahora eso parece MUY diferente de la formulación de Clausius! Pero de hecho no lo es. Todo lo que Carathéodory hizo fue cambiar el orden de las palabras, un poco como los matemáticos jugaron con el quinto axioma de Euclide durante 2.000 años y produjeron muchas palabras diferentes para ese axioma. Y si retrocede, no debería sorprenderse demasiado con la declaración de Carathéodory de la segunda ley. De hecho, Carathéodory conduce a la misma función de entropía y ecuación de hiper-superficie S (V, T, P, etc.) = 0

Piensa bien en el teorema de Carnot. Como matemático, no debe estar demasiado satisfecho de la forma en que Carnot admite que las máquinas perpetuas no existen. De hecho, como matemático, preferiría ver algo como esto:

Hay una función de entropía S que restringe las medidas macroscópicas SI Y SOLO SI no hay máquinas perpetuas ".

AHORA tienes un teorema. Y que dice Que mientras no exista un sistema mecánico aislado que produzca una cantidad infinita de energía y, por lo tanto, pueda llevarlo al estado que desee, encontrará una función de entropía. Un sistema mecánico aislado es un proceso adiabático. De ahí la formulación de Carathéodory: ningún sistema adiabático puede llevarlo a ninguna parte. A veces necesitarás algo de calor.

Entonces, no solo estamos seguros de que Carathéodory es correcto, sino también de que su formulación es bastante simple.

Ahora, ¿dónde tiene la impresión de que la segunda ley a la Carathéodory es similar al problema de detención?

Da un paso atrás en la declaración de Carathéodory. Todo lo que dice es que una vez que tiene un sistema mecánico aislado con el que deja de mezclarse, no puede alcanzar el estado que desea.

¿No suena PRECISAMENTE como el problema de detención? Es decir, una vez que haya escrito todos los axiomas de su teoría y haya establecido todas las transiciones posibles, habrá problemas que no podrá resolver. A veces, necesitará agregar más axiomas.

De hecho, si desea profundizar y codificar la formulación de Carathéodory, esto dará como resultado el mismo código que el problema de detención con procesos adiabáticos en lugar de máquinas Turing, y estados en lugar de problemas.

¿Qué piensas?

NOTA: edité mi respuesta casi por completo para que los comentarios a continuación no coincidan con lo que contiene ahora.


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"Rice afirma que ninguna máquina de Turing puede producir indefinidamente una propiedad no trivial". Esa no es una paráfrasis de Rice que reconozco. ¿Qué quieres decir?
David Richerby

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¿Qué quiere decir con "producir infinitamente una propiedad no trivial"?
David Richerby

Un poco retorcido. Rice dice que no se puede probar que una TM implemente una función determinada. Ahora, si un TM A produce indefinidamente una propiedad no trivial (N-TP), significa que produce un N-TP para CUALQUIER entrada. ¿Cómo puede ser eso cierto en la práctica? Bueno, parece que la única forma de que eso sea cierto es considerar una entrada indefinida e y mostrar que su A (e) tiene un N-TP. A su vez, eso significaría que podríamos PROBAR que la máquina produce un N-TP. Y sabemos que eso no es posible. Entonces, en efecto, postulo que es equivalente a decir "A produce indefinidamente un N-TP" y "PUEDO MOSTRAR que A produce un N-TP"
Jerome

"Producir infinitamente una propiedad no trivial" significa que puede lanzar un número infinito de entradas distintas a la TM. Y todas las salidas tendrán el NT-P
Jerome

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OKAY. Creo que su respuesta sería mucho más clara si solo utilizara términos estándar, en lugar de inventar cosas como "producir infinitamente una propiedad no trivial" que significa "poder procesar un número infinito de entradas". También ayudaría a explicar qué aspecto de su máquina Turing "real" no puede procesar un número infinito de entradas. ¿Es que la cinta es finita, por ejemplo?
David Richerby
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