Comprender un algoritmo para el problema de la estación de servicio

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En el problema de la estación de servicio , se nos dan ciudades y carreteras entre ellas. Cada camino tiene longitud y cada ciudad define el precio del combustible. Una unidad de carretera cuesta una unidad de combustible. Nuestro objetivo es ir de una fuente a un destino de la manera más barata posible. Nuestro tanque está limitado por algún valor. $n$ $\{ 0, \ldots, n-1 \}$

Intento entender el algoritmo , así que escribí manualmente los pasos para calcular la solución. Desafortunadamente, me quedé atascado: en algún momento no hay bordes para considerar, no sé por qué, tal vez me estoy perdiendo algo.

Ejemplo:
carretera:
0 ----------- 1 ------------ 2 -------------- 3
(no tiene que ser así de simple, podría ser cualquier gráfico, es decir, podría haber caminos entre 0-> 2, 0-> 3, 1-> 3, etc.)

Fuente: 0, Destino: 3, Tanque: 10 unidades
Precios de combustible: 0 : 10 unidades, 1 : 10 unidades, 2 : 20 unidades, 3 : 12 unidades
Longitudes: 0-> 1 : 9 unidades, 1-> 2 : 1 unidad, 2-> 3 : 7 unidades
Solución óptima: llene 9 unidades a 0 y 8 unidades a 1. El costo total es de 170 unidades (9 * 10 + 8 * 10).

Así que traté de calcularlo como se muestra aquí (párrafo 2.2)

GV[u] is defined as:
GV[u] = { TankCapacity - length[w][u] | w in Cities and fuelPrice[w] < fuelPrice[v] and length[w][u] <= TankCapacity } U {0}

so in my case:
GV[0] = {0}
GV[1] = {0}
GV[2] = {0, 3, 9}
GV[3] = {0}

D(u,g) - minimum cost to get from u to t starting with g units of fuel in tank:
D(t,0) = 0, otherwise:
D(u,g) = min (foreach length[u][v] <= TankCapacity)
         { 
           D(v,0) + (length[u][v] - g) * fuelPrice[u]                             : if  fuelPrice[v] <= fuelPrice[u] and g <= length[u][v]
           D(v, TankCapacity - length[u][v]) + (TankCapacity - g) * fuelPrice[u]  : if  fuelPrice[v] > fuelPrice[u]
         }

so in my case:
D(0,0) = min { D(1,0) + 9*10 }  - D(0,0) should contain minimum cost from 0->3
D(1,0) = min { D(2,9) + 10*10 } - in OPT we should tank here only 8 units :(
D(2,9) = min { ??? - no edges which follows the condition from the reccurence 

Nevertheless D(0,0) = 90 + 100 + smth, so it's already too much.

To achieve the optimal solution algorithm should calculate D(2,7) because the optimal route is:   
(0,0) -> (1,0) -> (2, 7) -> (3, 0) [(v, g): v - city, g - fuel in tank]. 
If we look at G[2] there is no "7", so algorithm doesn't even assume to calculate D(2,7), 
so how can it return optimal solutions?

La recurrencia del documento no parece funcionar o, lo que es más probable, hago algo mal.

¿Alguien podría ayudarme con esto?

algorithms graphs recurrence-relation

— Wojciech Kulik
fuente

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El problema está en la condición para el primer argumento de la min()ecuación (4) en la p. 7. Actualmente es

c(v) <= c(u) and g < d[u][v]

pero debería ser

(c(v) <= c(u) or v = t) and g < d[u][v]

para forzar la llegada a t para que no quede gas. (Al igual que con mi explicación a continuación para el error en Fill-Row (u, q), nunca estamos interesados en el costo del gas en t. Y al igual que allí, otra forma de solucionar el problema sería sobrescribir c (t ) con 0 al comienzo del algoritmo.)

Solucionar este error (en el algoritmo publicado), combinado con agregar los bordes faltantes como describo a continuación (su error :-P), debería ser suficiente para que todo funcione.

Una cosa que falta es que el gráfico G debe estar completo (primera oración de la sección 2, p. 4), y si no está completo, se deben agregar los bordes faltantes, con los pesos encontrados tomando las longitudes mínimas de ruta en la gráfica. Entonces, por ejemplo, en su gráfico de ejemplo, debe haber (entre otros) un borde de 1 a 3 con un peso 8 (correspondiente a la ruta a través de 2), de modo que de hecho GV [3] = {0, 2}.

No estoy seguro de si eso resolverá completamente el problema para usted, pero debería ayudar.

Por separado, creo que hay un error en el algoritmo Fill-Row (u, q) en p. 6: este algoritmo debe tratar el caso q = 1 especialmente, pero no lo hace. Creo que podría solucionarse cambiando

if c(v) <= c(u)

en la línea 3 a

if c(v) <= c(u) or q = 1

para forzar que cualquier tramo final llegue al destino vacío. (Intuitivamente, siempre debemos ignorar el precio del gas en el destino final, t.) Otra forma de evitar esto sería sobrescribir c (t) con 0 al principio.

— j_random_hacker
fuente

Además de tener cuidado con lo que sucede para , también debe tener cuidado de completar la tabla con valores significativos cuando el bucle interno se quede sin elementos. Además, si lo estoy leyendo correctamente, el algoritmo parece ignorar por completo el caso (véase esta pregunta de CS SE ), por lo que también hay que hacer algo allí.

q = 1

$q = 1$

c (v) > c (u)

$c(v) > c(u)$

— fuglede

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Usando la solución @j_random_hacker, necesitamos transformar nuestro gráfico en un gráfico completo y cambiar la condición de la ecuación (4) a:

(c(v) <= c(u) or v = t) and g < d[u][v]

El gráfico completo debería verse así:

ingrese la descripción de la imagen aquí

y cálculos finales:

GV[0] = {0}, GV[1] = {0}, GV[2] = {0, 3, 9}, GV[3] = {0, 2}

D(0,0) = min { D(1,0) + 9 * 10 }
D(1,0) = min { D(2,9) + 10 * 10, D(3,0) + 8*10 }
D(3,0) = 0
... etc

so D(0,0) = 170

La ruta a través de 0 -> 1 -> 3 [costo total 170 $] es la solución. Eso es lo que esperábamos :-). Si necesitamos una ruta, entonces deberíamos poder transformar esos bordes adicionales de la solución a los bordes dados al principio (no debería ser muy difícil).

Solo me pregunto cómo deberíamos evitar los puntos muertos en esta recurrencia. Por ejemplo, puede haber un punto muerto entre 0 <-> 1, porque c (0) <= c (1) y c (1) <= c (0).

— Wojciech Kulik
fuente

Para referencia futura, vea esta meta publicación :-)

— Juho

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La idea es obtener el combustible según sea necesario en la tarifa más barata donde sea que obtenga (paradigma de algoritmo codicioso)

Toma algunos ejemplos. en tu ejemplo

Fuente: 0, Destino: 3, Tanque: 10 unidades Precios de combustible: 0: 10 unidades, 1: 10 unidades, 2: 20 unidades, 3: 12 unidades Longitudes: 0-> 1: 9 unidades, 1-> 2: 1 unidad, 2-> 3: 7 unidades

Al principio tengo que viajar 9 unidades, así que necesito llenar mi tanque a 0 con> = 9 unidades (capacidad> = 9). Ahora, puedo ver en 1,2,3 la tasa de combustible es> = tasa de combustible en 0. Como, quiero comprar mi combustible necesario en la tasa más barata Trataré de llenar 9 + 1 + 7 = 17 unidades en ciudad 0 solamente. Pero, la capacidad del tanque puede ser <17, digamos 10. Entonces, llenaré hasta 10. Entonces a 1 me quedan 1 unidades de combustible y tengo que atravesar 8 unidades más, así que a 1 llenaré 7 Unidades más. No puedo llenar a 2 porque la tasa sería más alta. Mi, costo total = 10 * 10 + 7 * 10 = 170.

El codicioso algoritmo sigue la idea mencionada anteriormente. costo de combustible en la ciudad i. distancia entre dos ciudades y . "lleno" es la unidad de combustible con la que se llena el tanque. "capacidad" es la capacidad máxima del tanque. $C_i$ $d_{ij}$ $i$ $j$

i) lleno = 0

ii) para a , sea la primera ciudad después de manera que (si no existe tal , entonces ). = more_distance_need_to_travel_till_city_ = . Compre combustible de unidad { lleno, capacidad} en la ciudad . full = { full, capacidad}. Establecer . $i=0$ $n-1$ $l$ $i$ $C_i > C_l$ $l$ $l=n-1$ $d_l$ $l$ $\sum_{k=i+1}^l d_{k,k+1}$ $\min$ $d_l -$ $i$ $\min$ $d_l -$ $i=l$

— Sayan Bandyapadhyay
fuente

¡Gracias por su respuesta! Lamentablemente no me especifiqué con suficiente claridad. Asumiste que ese gráfico será tan simple como mi ejemplo, pero puede ser cualquier gráfico, es decir, también puede haber caminos 0-> 2, 1-> 3, etc.

— Wojciech Kulik

Sí, como no mencionaste antes, supuse que todas las ciudades están conectadas de forma lineal (el gráfico es un camino simple).

— Sayan Bandyapadhyay