Intersección y unión de un lenguaje regular y otro no regular.

Sea regular, regular, no regular. Demuestre que no es regular o dé un contraejemplo. $L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

Intenté esto: Mira . Este es regular. Puedo construir un autómata finito para esto: es regular, es regular, así que elimine todos los caminos (cantidad finita) para de la cantidad finita de caminos para . Así que hay una cantidad finita de caminos para todo esto. Esta cosa es disjunta de , pero ¿cómo puedo probar que la unión de $L_1 \setminus (L_2 \cap L_1)$ $L_1$ $L_2 \cap L_1$ $L_1 \cap L_2$ $L_1$ $L_2$ (regular) y (no regular) no es regular? $L_1 \setminus (L_1 \cap L_2)$ $L_2$

formal-languages regular-languages

— Kevin
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"así que elimine todos los caminos (cantidad finita) para

de la cantidad finita de caminos para

" - ¿qué se supone que significa eso? La forma habitual de construir un autómata para la diferencia es mediante el uso de

y las construcciones bien conocidas para el complemento y la intersección.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1\cap L_2$

L_{1}

$L_1$

A ∖ B = A \cap \bar{B}

$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

— Raphael

Prefiero cambiar el título de esta pregunta. Por sí mismo, el título de la pregunta es una afirmación incorrecta.

— nitishch

Respuestas:

$\overline{L_1} = \Sigma^* \setminus L_1$ $L_2$

$L_2 = ((L_1 \cup L_2) \setminus L_1) \cup (L_1 \cap L_2) = ((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$

Sabemos:

Los idiomas regulares están cerrados bajo unión, intersección y complemento
$\overline{L_1}$ $L_1 \cap L_2$
$L_2$

$L_1 \cup L_2$ $((L_1 \cup L_2) \cap \overline{L_1}) \cup (L_1 \cap L_2)$ $L_2$ $L_1 \cup L_2$

— Mike B.
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Creo que lo tengo. Pero, ¿por qué el complemento de un lenguaje regular es regular? No entiendo esa parte.

— Kevin

@Kevin Este es un lema bien conocido, por lo que debe encontrar una prueba en cualquier libro de texto. Un método de prueba es tomar un autómata finito e intercambiar los estados de aceptación y no aceptación: se obtiene un autómata que reconoce el idioma del complemento.

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

A = {a, b}

$A = \{a,b\}$

a

$a$

L (M) = {a}

$L(M)=\{a\}$

{a}

$\{a\}$

La prueba de Gilles funciona solo para autómatas finitos deterministas, que, para los idiomas normales, no es una restricción. Pero como él dijo, este lema se puede encontrar en cualquier libro de texto.

— Mike B.

@Kevin: Mike significa que cada lenguaje regular tiene un autómata determinista para reconocerlo, por lo que siempre puedes usar uno.

— reinierpost

-4

$L_1 = \{a, b\}^*$ $L_2 = \{a^n b^n : n \ge 0\}$ $L_1$ $L_2$ $L_1 \cup L_2 = L_1$

— vonbrand
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No ha cumplido la condición de que

es regular.

L_{1} \cap L_{2}

$L_1 \cap L_2$

— Andrej Bauer el