CLRS - Lema de flujo aumentado Maxflow 26.1 - no entiendo el uso de def. en la prueba

En Cormen et. al., Introducción a los algoritmos (3ª ed.), no obtengo una línea en la prueba del Lema 26.1 que establece que el flujo aumentado $f\uparrow f'$ es un flujo en $G$ y es st $|f\uparrow f'| =|f|+|f'|$ (esto es pp. 717-718).

Mi confusión: cuando discuten la conservación del flujo , usan la definición de $f\uparrow f'$ en la primera línea para decir eso para cada $u\in V\setminus\{s,t\}$

\sum_{v \in V} (f ↑ f^{'}) (u, v) = \sum_{v \in V} (f (u, v) + f^{'} (u, v) - f^{'} (v, u)),

$\sum_{v\in V} (f\uparrow f')(u,v) = \sum_{v\in V} (f(u,v)+f'(u,v) - f'(v,u)),$

donde la ruta aumentada se define como

(f ↑ f^{'}) (u, v) = {\begin{cases} f (u, v) + f^{'} (u, v) - f^{'} (v, u) & if (u, v) \in E, \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$(f\uparrow f')(u,v) = \begin{cases} f(u,v)+f'(u,v) - f'(v,u) & \text{if $(u,v)\in E$}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$

¿Por qué pueden ignorar la cláusula 'de lo contrario' en el resumen? No creo que la primera cláusula se evalúe a cero en todos estos casos. ¿Utilizan la conservación del flujo de $f$ y $f'$ ¿de alguna manera?

algorithms network-flow

— Dominik Peters
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Nota: Las anotaciones y definiciones utilizadas a continuación se tomaron prestadas de la tercera edición del libro.

Para responder a esta pregunta, primero, observe que si $(u,v) \notin E$ , entonces por definición de flujo,

f (u, v) = f^{'} (u, v) = (f ↑ f^{'}) (u, v) = 0 .

$f(u,v) = f'(u,v) = (f \uparrow f')(u,v) = 0 \, .$

Además, desde $f'(v,u) \le c_f(u,v) = f(u,v)$ , se obtiene que $f'(v,u) = 0$ . Esto simplemente implica que $\forall (u,v) \notin E$ ,

(f ↑ f^{'}) (u, v) = f (u, v) + f^{'} (u, v) - f^{'} (v, u) = 0 .

$(f \uparrow f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) - f'(v,u) = 0 \, .$

Por lo tanto, la definición de flujo aumentado puede generalizarse para todos $(u,v) \in V \times V$ ser como sigue:

(f ↑ f^{'}) (u, v) = f (u, v) + f^{'} (u, v) - f^{'} (v, u) .

$(f \uparrow f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) - f'(v,u) \, .$

El resto de la prueba se desprende de esta observación que, por supuesto, no se explica explícitamente en el texto.

PD Tenga en cuenta que la definición formal de flujo en la tercera edición del libro es significativamente diferente de la de la segunda edición. En particular, en la segunda edición, hay una propiedad de flujo denominada simetría oblicua que requiere $f(u,v) = - f(v,u), \forall u,v \in V$ . Esta propiedad se ha eliminado en la tercera edición debido a los supuestos que $(v,u) \notin E$ Si $(u,v) \in E$ y $f(v,u) = 0$ Si $(v,u) \notin E$ . Debido a esto, las definiciones de conservación del flujo en dos ediciones también son diferentes. Muchas de esas confusiones, de hecho, provienen de este cambio de definición que presumiblemente pretende simplificar las pruebas, pero resultó ser más desconcertante. Personalmente, preferiría seguir con la segunda edición del libro para este capítulo en particular.

— Ali
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