¿La inversión de un DFA mínimo también es mínima?

La pregunta está más o menos en el título. ¿Hay algún momento en que un lenguaje puede ser aceptado por un DFA mínimo con estados, pero , la reversión de , puede ser aceptado por un DFA con estados, donde $L$ $n$ $L^R$ $L$ $m$ $m<n$ ?

— jmite
fuente

El reverso de un DFA ni siquiera es necesariamente determinista. Un DFA que acepta la expresión regular AAA + tiene un estado terminal con dos flechas entrantes con la misma etiqueta.

— Ian

El DFA mínimo que acepta la inversión del lenguaje puede ser menor. Considere el lenguaje finito Las palabras

L = (0 + 1)^{2} 2 + (0 + 2)^{2} 1 + (1 + 2)^{2} 0.

$L = (0+1)^22+(0+2)^21+(1+2)^20.$

ϵ, 0, 1, 2, 00, 01, 02, 11, 12, 22, 000, 001

$\epsilon,0,1,2,00,01,02,11,12,22,000,001$ no son equivalentes, por lo que cualquier DFA para

requiere al menos 12 estados; de hecho, hay un DFA con exactamente 12 estados. El lenguaje inverso

es aceptado por un DFA con solo 9 estados: un estado inicial, estados correspondientes a los iniciales

, estados correspondientes al

inicial

L

$L$

L^{R} = 2 (0 + 1)^{2} + 1 (0 + 2)^{2} + 0 (1 + 2)^{2}

$L^R = 2(0+1)^2 + 1(0+2)^2 + 0(1+2)^2$

0, 1, 2

$0,1,2$

, un estado de aceptación y un estado de falla; este también es el DFA óptimo, ya que

son equivalentes.

0 (1 + 2), 1 (0 + 2), 2 (0 + 1)

$0(1+2),1(0+2),2(0+1)$

ϵ, 0, 1, 2, 01, 12, 20, 011, 000

$\epsilon,0,1,2,01,12,20,011,000$

En resumen, el DFA mínimo para requiere 12 estados, mientras que el de requiere solo 9 estados. $L$ $L^R$

$L$ $L^R$

— Yuval Filmus
fuente

¡Gracias! De alguna manera se me ocurrió que podría revertir un DFA y (directamente) recuperar un DFA, creo que lo confundí con el complemento.

— jmite

@jmite Tuve el mismo pedo cerebral y escribí una prueba elegante por contradicción con la respuesta incorrecta. :) Es un complemento que funciona como pensaba, no una inversión. Ups

— Patrick87