¿Se cierran los idiomas NP Complete en alguna operación regular?

He intentado buscar en línea, pero no pude encontrar ninguna declaración definitiva. Para mí tendría sentido que Unión e Intersección de dos idiomas de la APN producirían una lengua no necesariamente en la APN. ¿También es cierto que los lenguajes NPC no están cerrados bajo el complemento, la concatenación y las operaciones de kleene star?

complexity-theory np-complete closure-properties

— usuario16742
fuente

solo una nota: las operaciones regulares son unión, concatenación y estrella de Kleene y no intersección y complemento

— A.Schulz

¿Por qué no intersección y complemento? No he visto ninguna definición formal de operaciones regulares en ningún lado.

— Tushar

@Tushar De hecho: unión, concatenación y estrella de Kleene son operaciones regulares, mientras que unión, intersección y complemento son operaciones booleanas. Ver wikipedia .

— Hendrik

@Tushar: Porque estas operaciones se usan para construir expresiones regulares .

— A.Schulz

Respuestas:

Para todos los ejemplos en esta respuesta, estoy tomando el alfabeto como $\{0,1\}$ . Tenga en cuenta que los idiomas $\emptyset$ y $\{0,1\}^*$ definitivamente no son NP- completos.

La clase de idiomas completos de NP no está cerrada bajo intersección. Para cualquier lenguaje NP completo $L$ , dejar $L_0 = \{0w\mid w\in L\}$ y $L_1 = \{1w\mid w\in L\}$ . $L_0$ y $L_1$ son ambos NP- completos pero $L_0\cap L_1 = \emptyset$ .
La clase de lenguajes NP completos no está cerrada bajo unión. Dados los idiomas completos de NP $L_0$ y $L_1$ de la parte anterior, dejemos $L'_0 = L_0 \cup \{1w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ y $L'_1 = L_1\cup \{0w\mid w\in \{0,1\}^*\}\cup\{\varepsilon\}$ . $L'_0$ y $L'_1$ son ambos NP- completos pero $L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ .
La clase de lenguajes NP completos no está cerrada bajo concatenación. Considere los idiomas completos de NP $L'_0$ y $L'_1$ de la parte anterior Dado que ambos idiomas contienen $\varepsilon$ , tenemos $L'_0L'_1 \supseteq L'_0\cup L'_1 = \{0,1\}^*\!$ .
La clase de idiomas NP- completos no está cerrada bajo la estrella de Kleene. Para cualquier lenguaje NP completo $L$ , $L\cup \{0,1\}$ es NP -completo pero $\big(L\cup \{0,1\}\big)^* = \{0,1\}^*\!$ .
Si la clase de problemas completos de NP se cierra bajo complementación, entonces NP = coNP . Si esto es cierto o no es uno de los principales problemas abiertos en la teoría de la complejidad.

— David Richerby
fuente

Excluyendo el complemento, ¿no están cerrados todos los lenguajes NP-completos? ¿O es eso para P?

— Adjunto

@Adjit Um. Probé que NP está cerrado bajo ninguno de ellos.

— David Richerby

Para tu idioma específico. Pero supongo que no veo cómo {0, 1}*no se completa NP. Si toma, por ejemplo, la intersección de 2 idiomas NP-completos, ¿no debería obtener un lenguaje NP-completo, haciendo que NP se cierre debajo de la intersección?

— Adjunto

{0, 1} * y el lenguaje vacío son regulares, por lo tanto, se pueden decidir en tiempo polinómico y no NP-Completo. @DavidRicherby mostró que existen dos lenguajes NP-Complete cuya intersección no es NP-Complete. Eso es suficiente para demostrar que NPC no está cerrado debajo de la intersección.

— weirdev

@weirdev ¡No!

\emptyset

$\emptyset$ y

Σ^{*}

$\Sigma^*$ no son NP completos porque no hay otros idiomas reducidos a ellos. No es suficiente decir que están en P : no sabemos que los idiomas en P no pueden ser NP completos.

— David Richerby

-2

Eche un vistazo a las pruebas de unión, intersección, concatenación y estrella de kleene de los idiomas NP, aquí . Parece que se podría hacer un argumento similar para los lenguajes NP-Complete.

Para notación deja

$A$ ser un oráculo que decida un problema NP-Complete conocido como 3-SAT. Ver la definición de turing reducible
$L_1$ y $L_2$ son idiomas NP-completos
$M_1$ y $M_2$ son máquinas de Turing que deciden $L_1$ y $L_2$ utilizando $A$ .
$L_3$ es $L_1 \cup L_2$
$M_3$ es una máquina de Turing que decide $L_3$

En el caso de unión desde 1 , podemos crear una nueva máquina $M_3$ eso decide $L_3$ llamando $M_1$ y $M_2$ como sub rutinas. A su vez, cada vez $M_1$ o $M_2$ se llama, $A$ es tambien llamado. Entonces $M_3$ decide $L_3$ utilizando $A$ . Por el argumento de 1 , el tiempo de ejecución de $M_3$ está en P y ya que usa $A$ como una subrutina $L_3$ es NP-Complete. En otras palabras, $L_3$ es NP-Complete por la misma razón que $L_1$ y $L_2$ son NP-Complete.

El mismo argumento se puede hacer intersección y parece que se podrían hacer argumentos similares para la concatenación y la estrella de Kleene.

En el caso del cumplido, parece probable que sea difícil de probar por las mismas razones que es difícil demostrar el cumplido en NP.

— joebloggs
fuente

La integridad de NP se define en términos de reducciones de muchos, no reducciones de oráculo. Además, los idiomas NP-complete definitivamente no están cerrados bajo unión o intersección. Si están cerrados bajo complemento, entonces NP = coNP, que es una pregunta abierta importante.

— David Richerby

En el artículo de Stephen Cook de 1971 [1] que define NP-Completeness, utiliza una máquina de consulta que es el mismo concepto que un Oracle. También debe consultar el enlace anterior sobre la reducción de la duración. [1] chell.co.uk/media/product/_master/1/files/…

— joebloggs

@joebloggs: Puedo ver por su argumento que la unión e intersección de dos idiomas NP-Complete es NP. Sin embargo, todavía no prueba si es NP-completo. Para demostrarlo, debe reducir la unión o intersección de dos problemas de decisión de NP completo a un problema de decisión de NP completo.

— Tushar

@DavidRicherby: Usted dice que los lenguajes NP-complete definitivamente no están cerrados bajo unión o intersección. Estoy interesado en ver la prueba de eso. ¿Tiene alguna referencia para esa prueba?

— Tushar

@joebloggs: su argumento funciona para los idiomas NP, pero NO para los idiomas NP completos. Para probar que un lenguaje L es Np-completo, debe proporcionar una reducción polinómica de L a un lenguaje NP-completo conocido. En cuanto a la respuesta de David, P está cerrado debajo de la intersección, porque tanto el lenguaje vacío como el universal están en P (por lo tanto, también están en NP), pero no están completos en NP. Espero que eso quede claro!

— Tushar