¿Por qué el problema del árbol de expansión limitado por k es NP-completo?

El problema del árbol de expansión limitado por es donde tienes un gráfico G ( V , E ) no dirigido y tienes que decidir si tiene un árbol de expansión tal que cada vértice tenga un grado de k como máximo .$k$$G(V,E)$$k$

Me doy cuenta de que para el caso , este es el problema del camino hamiltoniano. Sin embargo, estoy teniendo problemas con casos donde k > 2 . Intenté pensarlo en el sentido de que puedes agregar más nodos en un árbol de expansión existente donde k = 2 y tal vez dado que la base es NP completa, agregar cosas también lo hará NP-completo, pero eso no parece Correcto. Estoy estudiando CS y estoy teniendo problemas con la teoría, por lo que agradeceré cualquier ayuda.$k=2$$k>2$$k=2$

La pregunta se ha hecho antes en stackoverflow , donde también se ha respondido. La idea es conectar cada vértice a nuevos vértices. El nuevo gráfico tiene un árbol de expansión con límites k si el gráfico original tiene una ruta hamiltoniana.$k-2$$k$

$(k+1)$$k$$1$

Tengo entendido que si tiene un algoritmo que puede resolver el problema del árbol de expansión limitado por k con cualquier k, puede usar ese algoritmo para resolver un caso especial con k = 2, que es esencialmente una ruta hamiltoniana. Entonces, si su algoritmo puede alcanzar el tiempo polinómico, entonces puede usarse para resolver la ruta de Hamilton en tiempo polinómico, lo que equivale a resolver cualquier problema np-completo en tiempo polinómico. Por lo tanto, el problema del árbol de expansión limitado por k debe ser np-complete. Tenga en cuenta que esta es una idea general, no una prueba completa.

También tenga en cuenta que ser np-complete no significa que no haya algoritmos de tiempo polinomiales que puedan resolver el problema. Nadie ha probado esto todavía. Solo significa que todos los problemas que son np-completos son igualmente difíciles y si uno puede resolverse en tiempo polinómico, entonces todos pueden resolverse en tiempo polinómico.