¿Puede uno exactamente de NP y co-NP ser igual a P?

Tal vez me estoy perdiendo algo obvio, pero ¿puede ser que P = co-NP $\subsetneq$NP o viceversa? Mi sensación es que debe haber algún teorema que descarte esta posibilidad.

No, porque está cerrado para complementar esto no puede ser, e incluso sabemos que .$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies \mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$

Supongamos que , y dejemos , por lo tanto . Asumimos , y por lo tanto existe un TM st . Si tomamos el "complemento" de , que es una máquina que es idéntica a excepto que sus estados de aceptación y rechazo se invierten, obtenemos que , y entonces está en .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$L \in \mathsf{co\text{-}NP}$$L^c \in \mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$M$$L(M)=L^c$$M$$M'$$M$$L(M')=(L^c)^c=L$$L$$\mathsf{NP}$

Esto muestra que, bajo el supuesto de que , obtenemos y por lo tanto .$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$(\mathsf{P}=)\mathsf{NP}=\mathsf{co\text{-}NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$

$\mathsf{P}$ está cerrado bajo complemento (es decir $\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}P}$¹); Así que si$\mathsf{P}=\mathsf{co\text{-}NP}$ (o $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$) entonces $\mathsf{co\text{-}NP} = \mathsf{NP}$

1. Dado un idioma $L \in \mathsf{P}$, podemos construir una TM determinista que decida $\overline L$ en tiempo polinómico simplemente tomando la TM que decide $L$ y ...