Límites de tiempo de ejecución en algoritmos de problemas completos de NP suponiendo P ≠ NP

Suponga . $P\neq NP$

¿Qué podemos decir sobre los límites de tiempo de ejecución de todos los problemas de NP completo?

es decir, cuáles son las funciones más ajustadas para las cuales podemos garantizar que un algoritmo óptimo para cualquier problema NP-completo se ejecute en tiempo de al menos y como máximo en una entrada de longitud ? $L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ $\omega(L(n))$ $o(U(n))$ $n$

Obviamente, . Además, . $\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$ $U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$

Sin suponer , o cualquier otro supuesto que no esté implícito en , ¿podemos dar mejores límites en ? $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$

EDITAR:

Tenga en cuenta que al menos uno de tiene que estar lejos de los límites que di aquí, ya que debido a que son problemas de NPC, estos problemas tienen una reducción de tiempo poli entre sí, lo que significa que si algún problema de NPC tiene un algoritmo óptimo de tiempo , entonces todos los problemas tienen un algoritmo (óptimo o no) de tiempo de ejecución . $L,U$ $f(n)$ $O(f(n^{O(1)}))$

— RB
fuente

si P NP podemos decir que los límites de tiempo de ejecución son más grandes que cualquier polinomio ... afaik no, no se conocen límites mejores ... mucha notación no cambia que ... existen superpolinomios-pero- funciones subexponenciales, por ejemplo,

\neq

$\neq$

2^{\log n}

$2^{\log n}$

— vzn

Primero, es simplemente lineal, así que supongo que te refieres a que se conoce como la clase . Me doy cuenta de que no significa que ninguna función completa de NP se ejecutará en un tiempo exponencial, pero eso no es lo que estoy preguntando. Por ejemplo, suponiendo , ¿es posible que se pueda resolver un problema de NPC en , donde es la función inversa de Ackermann? Las anotaciones son simplemente una herramienta utilizada para expresar mi pregunta formalmente ..

2^{\log n}

$2^{\log n}$

2^{p o l y l o g (n)}

$2^{polylog(n)}$

Q P

$QP$

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

2^{l o g (n) \cdot l o g^{*} (n)}

$2^{log(n)\cdot log^*(n)}$

l o g^{*} (n)

$log^*(n)$

— RB

Gracias por la corrección. se sabe muy poco en esta área afaik. prueba esta pregunta NTime (n ^ k) =? DTime (n ^ k) tcs.se

— vzn

@RB Si bien es cierto que en cada "mundo posible" hay límites inferiores y superiores que están aproximadamente dentro de un polinomio entre sí, no está claro qué límites a priori son posibles.

— Yuval Filmus

Mi interpretación de la pregunta es que se trata de las posibilidades en mundos relativizados . Supongamos que en algún mundo relativizado, . ¿Podemos deducir algo no trivial sobre la complejidad temporal de los problemas de NP completo? El argumento de Baker-Gill-Solovay muestra que podemos "forzar" algún problema de NP para que requiera tiempo exponencial, por lo que el límite superior dado en la pregunta es esencialmente óptimo. $P \neq NP$

Con respecto al límite inferior, esbozamos a continuación una prueba de que, en relación con algún oráculo, . Suponiendo que la prueba esbozada es correcta, también podemos aplicarla a funciones más pequeñas que , y esto muestra que el límite inferior dado en la pregunta también es esencialmente apretado. $NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$ $2^{O(\log^2 n)}$

Bosquejo de prueba. Construimos dos oráculos : el primero se comporta como un problema completo de , y el segundo implementa la diagonalización de Baker-Gill-Solovay. Es sencillo empacar ambos oráculos en un solo oráculo. $O_1,O_2$ $\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

El oráculo consta de todos los pares tal que es una máquina oráculo de Turing que acepta en tiempo de ejecución $O_1$ $\langle M, x \rangle$ $M$ $x$ cuando se le da acceso a los oráculosrestringido a entradas de longitud como máximo $2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$ $O_1,O_2$ . (Esta no es una definición circular). $2^{\sqrt{\log |x|}}$

El oráculo se define de la misma manera que el oráculo se define en Baker – Gill – Solovay: para cada máquina de Turing del oráculo con reloj ejecuta en el tiempo , encontramos alguna longitud de entrada que es "intacto", ejecute en para pasos, y para cada consulta a de tamaño , marcamos que esta entrada no está en (para otras consultas también marcamos que la entrada no está allí, a menos que ya había decidido que está en $O_2$ $M$ $T = 2^{o(\log^2 n)}$ $n$ $M$ $1^n$ $T$ $O_2$ $n$ $O_2$ ) Las consultas a se manejan de manera similar (como consultas implícitas a de menor tamaño, manejadas recursivamente); observe que tales consultas nunca mencionan cadenas de longitud en , ya que $O_2$ $O_1$ $O_1,O_2$ $n$ $O_2$ . Si la máquina acepta, marcamos todas las demás cadenas de longitudencomo faltantes; de lo contrario, elegimos alguna cadena de longitudy lacolocamosen. $2^{\sqrt{\log T}} < n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$

La clase consta de todos los programas que se ejecutan en el tiempo $P^{O_1,O_2}$ , haciendo consultas ade tamaño $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$ $O_1,O_2$ . La clasetiene la forma, donde, y por lo tanto está contenido en la clase de todos los programas que se ejecutan en el tiempoy que realizan consultas oráculo de tamaño $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $NP^{O_1,O_2}$ $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$ $\varphi \in P^{O_1,O_2}$ $2^{n^C}$ . Este último está contenido en, ya que podemos usarpara decidirlo. Esto muestra que. $2^{O(\sqrt{\log n})}$ $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$ $O_1$ $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

Para la otra dirección, dejemos que sea el lenguaje que consiste en para cada modo que contenga alguna cadena de longitud . Por construcción de , , mientras que claramente . Esto muestra que $L$ $1^n$ $n$ $O_2$ $n$ $O_2$ $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$ $L \in NP^{O_1,O_2}$ . $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$

— Yuval Filmus
fuente

Tengo que administrar que no entendí completamente su respuesta, pero si, como mencionó, algún problema de NP completo

solo se puede resolver en

, entonces todos los demás problemas de NPC también solo se pueden resolver en

, ya que hay una reducción de tiempo poli para ellos desde

, lo que significa que de lo contrario tendrías un mejor algoritmo para

. Esto implica, por ejemplo,

¿no? ¿Qué me estoy perdiendo?

Π

$\Pi$

Ω (2^{n^{c}})

$\Omega(2^{n^c})$

Ω (2^{n^{Ω (1)}})

$\Omega(2^{n^{\Omega(1)}})$

Π

$\Pi$

Π

$\Pi$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

E T H

$ETH$

— RB

Bueno, esto no implica

, pero que tiene un aspecto que puede implicar

E T H

$ETH$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

— RB

No te estás perdiendo nada. Hay un mundo relativizado en el que ETH es cierto. Hay otro mundo relativizado donde P = NP, y en particular ETH es falso.

— Yuval Filmus

Pero no en todos los mundos reletivizados en los que

es cierto, ¿verdad? Hay una posibilidad de que

. Por lo que entendí de su respuesta, si

existe un problema de NPC cuyo límite inferior es exponencial, y me pregunto por qué es cierto.

P \neq N P

$P\neq NP$

Q P \neq N P

$QP\neq NP$

P ⊊ Q P = N P

$P\subsetneq QP = NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— RB

En mi respuesta, (supuestamente) doy un mundo relativizado en el que

. Otro mundo relativizado tiene

. En aún otros mundos relativizada,

. Con respecto a

, no reclamo nada al respecto.

N P = T I M E (n^{O (\log n)})

$NP = \mathrm{TIME}(n^{O(\log n)})$

N P = T I M E (2^{n^{O (1)}})

$NP = \mathrm{TIME}(2^{n^{O(1)}})$

P = N P

$P=NP$

Q P

$QP$

— Yuval Filmus

Límites de tiempo de ejecución en algoritmos de problemas completos de NP suponiendo P ≠ NP

Sin suponer , o cualquier otro supuesto que no esté implícito en , ¿podemos dar mejores límites en ?E T H P ≠ N P L , UQP≠NPQP≠NPQP\neq NPETHETHETHP≠NPP≠NPP\neq NPL,UL,UL,U

Sin suponer , o cualquier otro supuesto que no esté implícito en , ¿podemos dar mejores límites en ? $QP\neq NP$ $ETH$ $P\neq NP$ $L,U$