¿Conectar islas con pontones es NP completo?

Tengo un problema en mi mente, creo que es un problema NPC pero no sé cómo probarlo.

Aquí está el problema:

Hay k islas en un lago muy grande, y hay n pontones en forma de abanico. Esos pontones son del mismo tamaño pero tienen diferentes direcciones iniciales y están en diferentes posiciones originales en el lago. Los pontones pueden girar libremente alrededor de su centro de masa, y sin costo asociado con la rotación.

Ahora tenemos que mover esos pontones para que todas las islas del lago puedan conectarse. Podemos garantizar que la cantidad de pontones es suficiente para conectar todas las islas.

[Nota]: ¡No podemos reutilizar los pontones!

La tarea es encontrar la solución que tenga la distancia total mínima de los pontones móviles para que todas las islas estén conectadas. La distancia de mover un pontón se puede calcular como la distancia entre la posición original del centro de masa y su posición desplegada.

Para que quede claro, he dibujado esa figura. Supongamos que tenemos 3 islas A, B y C. Están ubicadas en algún lugar del lago. Y tengo varios pantis en forma de abanico. Ahora la solución es encontrar una suma mínima de distancia de movimiento para conectar A, B y C, que se muestra en la parte inferior de la figura. Espero que ayude a entender el problema. :)

Parece que el problema es un NPC, pero no sé para probarlo. ¿Puede alguien ayudarme con esto?

Primero: Este no es el problema del vendedor ambulante. El TSP requiere la identificación de un ciclo hamiltoniano de peso mínimo; Este ciclo no requiere un ciclo, o incluso una ruta de peso mínimo en absoluto. Requiere un costo mínimo de construcción de un conjunto de bordes de conexión, donde el costo de construcción se basa en mover los pontones.

Segundo: este no es el problema del árbol de expansión de peso mínimo. Ver arriba: requerimos una construcción de costo mínimo, no una identificación de peso mínimo.

Tercero: Parece que el camino construido será un árbol de expansión, pero no necesariamente un peso mínimo. La alternativa es que sería un árbol de expansión más algunos bordes adicionales que darían como resultado un ciclo; pero si comenzamos en una configuración sin bordes, entonces cada borde tiene un costo positivo y siempre podemos encontrar un árbol de expansión de menor peso simplemente no construyendo los bordes adicionales.

Cuarto: dices que los pontones giran libremente; Supongo que eso significa que no hay costos asociados con la rotación de los pontones. Sin embargo, no especifica sobre qué giran los pontones: ¿sus puntos? ¿Sus centros de masa? Cualquier punto interno? (Si hay algún punto externo, entonces tendríamos construcciones de peso cero, ¿sí?)

Esto es un poco sutil, porque si estamos girando 90 grados sobre un punto interno, digamos, el centro de masa, ¿cuál es el costo? ¿Nada, porque es una rotación? ¿Alguna cantidad finita porque el punto se movió? Ahora también necesitamos saber el tamaño de los pontones.

Quinto: ¿Se supone que tanto los pontones como las islas están incrustados en el Plano Euclidiano?

Después de mirar los nuevos diagramas, veo que puede necesitar varios pontones para cruzar entre islas. Dado eso, podría acercarse mucho a una solución del problema del árbol Steiner al convertir los nodos en islas y crear una colección suficientemente diversa de pontones con arcos pequeños. Wikipedia dice que, de hecho, hay un PTAS para el problema del árbol Steiner, por lo que no puedo decir de inmediato que esto hace que NP-complete. Sin embargo, mirar los detalles del árbol Steiner podría brindarle una buena solución aproximada o mostrar que el problema es NP-Complete.

Después del dibujo, esto sigue siendo un problema de NPC. Incluso si reducimos el problema a cada pontón, podemos asumir 1 de n posiciones (es decir, líneas de conexión conocidas. Para obtener la respuesta más óptima, tendríamos que probar cada pontón en cada posición, sumando su distancia para llegar a esas posiciones respectivas) tiempo, y comparándolo con todos los demás, si cada pontón tiene que ser probado en cada posición, entonces hay n! combinaciones que necesitan ser probadas.

Elegí editar las imágenes del póster original con algunas adiciones para mostrar las ideas gráficas detrás de este problema.

La imagen a continuación muestra todos los pontones (menos 2 para hacerlo más simple) en diferentes colores, con todas las ubicaciones potenciales de los extremos del pontón en ROJO. Solo he dibujado las líneas entre 3 pontones y todas las ubicaciones finales, pero uno podría ver cuán LOCO podría ser esto.

Digamos que solo por el gusto de hacerlo, elegimos que el pontón turquesa se coloque en la ubicación final más cercana como el primer paso (aunque desde el TSP sabemos que esto puede no ser óptimo al final).

A continuación vemos exactamente eso, el pontón y la distancia (también conocida como distancia de viaje ponderada) que tendrá que viajar.

Desde aquí se puede hacer un nodo virtual con las dos ubicaciones finales al lado de la ubicación recién colocada. Distancia desde el nodo establecido, y los dos nodos adyacentes dentro del nodo virtual tienen una distancia de viaje virtual de 0.

A continuación, vemos el nodo virtual creado con TODOS los pesos de distancia de viaje potenciales que se pueden colocar allí.

Al ver cómo esto continuaría, y cómo la solución más óptima (como se ve muchas veces con el TSP) no siempre será elegir la distancia más corta para cada elección, tendríamos que probar esencialmente todas las rutas para todos los nodos / nodos virtuales.

Al final, el primer nodo del problema (TSP) podría ser cualquiera de los puntos de pontón finales potenciales, y las líneas dibujadas a partir de eso son las distancias desde ese punto final a todos los demás pontones. todos los demás nodos se convierten en nodos virtuales como lo he descrito con sus líneas saliendo como las distancias / pesos a todos los pontones restantes, y así sucesivamente. Cómo este problema de gráfico NO ES EXACTAMENTE el problema del vendedor ambulante sin el requisito de ÚLTIMO SALTO del ciclo hamiltoniano está más allá de mí. Para tener la respuesta exacta, uno debe probar todas las rutas a través del gráfico.