¿Cómo pruebo si un polígono es monótono con respecto a una línea arbitraria?

Definición : Un polígono $P$ en el plano se llama monótono con respecto a una línea recta $L$ , si cada línea ortogonal a $L$ cruza con $P$ como máximo dos veces.

Dado un polígono $P$ , ¿es posible determinar si existe alguna línea $L$ tal que el polígono $P$ sea ​​monótono con respecto a $L$ ? Si es así, ¿cómo?

Anteriormente, he hecho una pregunta relacionada (en la que le pregunté cómo determinar si un polígono es monótona con respecto a una línea particular), pero ahora estoy interesado en el caso en que $L$ es no da o se especifica de antemano.

Es posible.

Considere su polígono y considere los vértices "cóncavos". Definen exactamente qué líneas intersectarán el polígono más de dos veces. En la siguiente figura marqué los intervalos (en rojo) de los ángulos prohibidos. Si los junta y ve un agujero en el disco rojo, entonces hay ángulos autorizados (en azul). El polígono es entonces monótono con respecto a cualquier línea de pendiente - 1 / tan δ (en verde).$δ$$-1/\tan δ$

Ahora el algoritmo.

Sea el i ésimo vértice del polígono. Primero calcule el ángulo absoluto α i del borde ( v i v i + 1 ) y el ángulo interno β i del vértice v i . Use la función disponible en todos los buenos lenguajes de programación.$v_i=(x_i, y_i)$$i$$α_i$$(v_iv_{i+1})$$β_i$$v_i$atan2

β i = α i + 1 - α i + { 0  si  α i + 1 ≥ α i 2 π  si  α i + 1 < α

$$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$$ $$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$$

Invierta el orden de los vértices si no están en el sentido contrario a las agujas del reloj, es decir, si no es negativo. ( s = - 2 π : en sentido antihorario, s = 2 π : en sentido horario).$s=\sum_i β_i-nπ$$s=-2π$$s=2π$

Lo siguiente es solo para los ángulos internos más grandes que π , es decir, β j > π . Los rojos en mi foto. El objetivo es encontrar un ángulo δ que no esté en ∪ j [ α j + 1 , α j ] módulo π . A saber, tal que para todo j tal que β j > π :$m$$π$$β_j>π$$δ$$∪_j[α_{j+1},α_j]$$π$$j$$β_j>π$

( α j < δ < α j + 1 )  si  α j < α j +

$$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$$ $$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$$

donde es aquí el valor normalizado de α j en [ 0 , π ) . El segundo caso corresponde a un intervalo que va más allá de π (por lo que esta vez δ debe estar "dentro").$α_j$$α_j$$[0,π)$$π$$δ$

Probablemente haya una forma más rápida de hacer esto, pero una en es clasificar los valores α j  mod  π en γ 1 , ... γ my probar δ ∈ { γ$O(n^2)$$α_j\mbox{ mod }π$$γ_1,…γ_m$.$δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

Si ha encontrado algo de entonces L existe y es de pendiente - 1 / tan δ . De lo contrario, P no es monótono.$δ$$L$$-1/\tan δ$$P$