¿Es una unión infinita de lenguajes libres de contexto siempre libre de contexto?

Deje , , , ser una secuencia infinita de lenguajes libres de contexto, cada uno de los cuales está definido sobre un alfabeto común . Deje que sea el in fi nito de unión , , , ; es decir, . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $\dots$ $Σ$ $L$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $\dots$ $L = L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup \dots$

¿Es siempre el caso de que $L$ es un lenguaje sin contexto?

formal-languages context-free closure-properties

— Gigili
fuente

Hay dos preguntas en su mayoría independientes aquí. El primero es muy elemental, pero el segundo incluso se responde fácilmente con Wikipedia. Le sugiero que edite para centrarse en la primera pregunta.

— Raphael

@Raphael: Lo hice yo mismo antes de su sugerencia, pero luego pensé que algunas partes de las respuestas podrían ser inútiles.

— Gigili

@Raphael: ¡Esa edición anula la mayor parte de lo que escribí! No creo que sea una buena idea transformar preguntas como esa, cuando ya hay respuestas.

— Aryabhata

@Aryabhata: ¿Es posible editar su respuesta por favor? ¡Lo edité para evitar que la pregunta sea fácil como él dijo! Publicaré una meta pregunta sobre esto.

— Gigili

@Gigili: Puedo, pero estaba hablando en términos generales. Imagine el caso en el que alguien investiga un poco y se esfuerza por escribir una respuesta detallada. Ahora ve y cambia la pregunta que invalida la mayor parte de esa respuesta. Para esta pregunta podría no importar, de hecho, probablemente pueda eliminar mi respuesta, ya que tendremos dos respuestas que dicen lo mismo y una de ellas sería solo ruido.

— Aryabhata

La unión de infinitos lenguajes libres de contexto puede no estar libre de contexto. De hecho, la unión de infinitos idiomas puede ser casi cualquier cosa: que sea un lenguaje y defina para cada el lenguaje (finito) . La unión sobre todos los idiomas es . Los lenguajes finitos son regulares, pero puede que ni siquiera sea decidible (y, por lo tanto, definitivamente no esté libre de contexto). $L$ $l \in L$ $L_l = \{ l \}$ $L$ $L$

Las propiedades de cierre de los lenguajes sin contexto se pueden encontrar en Wikipedia .

— Alex ten Brink
fuente

Gracias por su respuesta. Por tanto, la respuesta es no"? ¿Podría proporcionar un contraejemplo?

— Gigili

@Gigili: el idioma es el ejemplo habitual de un lenguaje que no está libre de contexto, y usando mi construcción la unión de es exactamente ese lenguaje, pero todos los son finitos y, por lo tanto, no tienen contexto.

{a^{n} b^{n} c^{n} | n \geq 1}

$\{ a^n b^n c^n | n \geq 1 \}$

L_{1} = {a b c}, L_{2} = {a a b b c c}, L_{3} = {a a a b b b c c c}, \dots

$L_1 = \{ a b c \}, L_2 = \{ aa bb cc \}, L_3 = \{ aaa bbb ccc \}, \dots$

L_{i}

$L_i$

— Alex ten Brink

@Gigili Debería poder usar cualquier lenguaje que no esté libre de contexto como contraejemplo usando lo que Alex ha escrito.

— Raphael

Otra forma de desglosar cualquier idioma es según la longitud de las palabras: . Esto muestra que incluso una unión creciente de idiomas finitos es suficiente para describir cualquier idioma.

L = ⋃_{n \in N} {w \in L ∣ | w | \leq n}

$L = \bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{w \in L \mid |w| \le n\}$

— Gilles 'SO- deja de ser malvado'

"De hecho, la unión de infinitos idiomas puede ser casi cualquier cosa " (énfasis agregado) En realidad, puede ser cualquier cosa, punto, no "casi". Tu ejemplo lo demuestra. Bueno, el conjunto / lenguaje nulo puede ser un problema, pero las uniones vacías están bien. Por lo tanto, puede ser el conjunto más extraño, enormemente no computable, en cualquier jerarquía que desee. Puede ser cualquier conjunto.

— David Lewis